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2.1.1 合情推理,第二章 2.1 合情推理與演繹推理,1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理. 2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 推理的定義與結(jié)構(gòu)形式,,答案,思維,1.定義：推理是人們 活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的 過程.其作用是從已知的知識得到未知的知識，特別是可以得到不可能通過感覺經(jīng)驗掌握的未知知識. 2.結(jié)構(gòu)形式：從結(jié)構(gòu)上來說，推理一般分為兩部分，一部分是已知的事實(或假設(shè))，叫做 ，另一部分是由已知判斷推出的新的判斷，叫做 .,思維,前提,結(jié)論,,答案,思考 (1)依據(jù)部分對象得到的推理結(jié)論可靠嗎？,答案 不一定完全可靠.,(2)推理一般用哪些關(guān)聯(lián)詞？,答案 推理一般可用關(guān)聯(lián)詞將“前提”和“結(jié)論”聯(lián)結(jié)， 常用的關(guān)聯(lián)詞有“因為……所以……”“根據(jù)……可知……”“如果……那么……”“若……則……”.,知識點二 歸納推理與類比推理,,答案,部分對象,全部對象,個別事實,一般結(jié)論,部分,到整體,個別到,一般,,答案,類似,已知特征,特殊,到特殊,,思考 歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？,答案 歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確. 類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠.,答案,知識點三 合情推理,,答案,觀察,1.合情推理的含義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過 、 、 、 ，再進行 、 ，然后提出 的 推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理. 2.合情推理的過程,分析,比較,聯(lián)想,歸納,類比,猜想,思考 由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？,,返回,答案,答案 一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了.,題型探究 重點突破,題型一 歸納推理的應(yīng)用,,解析答案,反思與感悟,由此發(fā)現(xiàn)分母依次為1,3,5,7，…，分子都是2.,,反思與感悟,求數(shù)列{an}的通項公式的一般方法： (1)根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(有時題目已給出)，如a1，a2，a3等； (2)通過這些項找出項與序號之間的一般規(guī)律，歸納出數(shù)列的一個通項公式.,(1)求出S1，S2，S3，S4；,,解析答案,,解析答案,(2)猜想該數(shù)列的前n項和Sn并證明.,題型二 類比推理的應(yīng)用,,解析答案,例2 在矩形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊AB，BC所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1.在立體幾何中，通過類比，給出猜想并證明.,反思與感悟,于是類比到長方體中，猜想若其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α，β，γ， 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 證明如下：如圖(2)，cos2α＋cos2β＋cos2γ,,反思與感悟,,類比推理是一種主觀的不充分的推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證.一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)越相關(guān)，那么類比得到的命題就越可靠. 類比的關(guān)鍵是能把兩個系統(tǒng)之間的某種一致性或相似性確切地表述出來，也就是要把相關(guān)對象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識說清楚.,反思與感悟,,解析答案,解析 由求直角三角形外接圓的半徑的方法， 通過類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補全為長方體， 而長方體的體對角線長就是三棱錐的外接球的直徑，,,解析答案,,合情推理的應(yīng)用,易錯易混,歸納推理、類比推理都是合情推理，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理；而類比推理則是通過某兩類對象在對比中啟發(fā)猜想結(jié)論.這些結(jié)論未必正確，要進一步驗證(或證明)其正確性.,返回,例3 設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，計算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n＝40驗證猜想是否正確.,,解 f(1)＝12＋1＋41＝43， f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53， f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71， f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97， f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，,解析答案,,f(10)＝102＋10＋41＝151. ∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是質(zhì)數(shù)， ∴歸納猜想：當(dāng)n∈N*時，f(n)＝n2＋n＋41的值都為質(zhì)數(shù). 驗證：當(dāng)n＝40時，f(40)＝402＋40＋41＝40(40＋1)＋41＝4141. ∴f(40)是合數(shù)，∴由上面歸納推理得到的猜想不正確.,返回,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,A.a＝5，b＝24 B.a＝6，b＝24 C.a＝6，b＝35 D.a＝5，b＝35,C,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,答案 D,1,2,3,4,5,,解析答案,nn,1,2,3,4,5,,答案,1,2,3,4,5,,解析答案,5.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項，并歸納猜想它的通項公式. (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；,解 由已知可得a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝23＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝27＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝215＋1＝31＝25－1. 猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.,1,2,3,4,5,,解析答案,解 由已知可得a1＝a，,1,2,3,4,5,,解析答案,∵對一切的n∈N*，an0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7， 猜想出an＝2n－1(n∈N*).,,課堂小結(jié),,返回,1.歸納推理的一般步驟： ①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)； ②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想). 2.類比推理的一般步驟： ①找出兩類對象之間的相似性或一致性； ②用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想).,