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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 5.1初識無限同步精練 北師大版選修3-1 1．建立“無窮集合論”的數(shù)學(xué)家是(　　) A．費(fèi)馬 B．歐拉 C．高斯 D．康托 2．1615年，為了研究旋轉(zhuǎn)體的體積，________引入了無窮大和無窮小的概念．(　　) A．開普勒 B．萊布尼茨 C．牛頓 D．費(fèi)馬 3．下列說法正確的是(　　) A．全體有理數(shù)比全體自然數(shù)多 B．有理數(shù)集與自然數(shù)集之間存在一一對應(yīng)關(guān)系 C．有理數(shù)集與自然數(shù)集的基數(shù)不同 D．有理數(shù)集與自然數(shù)集是相等的集合 4．將正整數(shù)集Z＋中去掉一個(gè)元素“1”后剩余的元素組成的集合記為A，則下列敘述正確的是(　　) A．Z＋比A多一個(gè)元素 B．Z＋＝A C．Z＋與A的元素個(gè)數(shù)一樣多 D．Z＋的基數(shù)大于A的基數(shù) 5．下列敘述正確的是(　　) A．所有可數(shù)集的基數(shù)都相同 B．所有的無限集都是對等的 C．所有的無限集都可以與正整數(shù)集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系 D．如果存在一個(gè)對應(yīng)法則，使得A中的任一個(gè)元素a，按照對應(yīng)法則，必有B中唯一的元素b與之對應(yīng)，則稱建立了A與B之間的一個(gè)一一對應(yīng) 6．在證明全體有理數(shù)是可數(shù)的時(shí)，我們把有理數(shù)排列成一個(gè)數(shù)陣，從中間的0開始數(shù)起，畫一個(gè)________形的螺旋線，按照這一路線，每個(gè)有理數(shù)都會(huì)被數(shù)到，它將對應(yīng)一個(gè)唯一的正整數(shù)，這樣我們就證明了全體有理數(shù)是可數(shù)的． 7．1886年，法國數(shù)學(xué)家________說了一句很有名的話：“上帝創(chuàng)造了正整數(shù)，其他一切都是人類的創(chuàng)造．” 8．證明：集合(0,5)與(0,12)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系． 9．設(shè)全體正奇數(shù)為集合A，全體正偶數(shù)為集合B，證明：A與B對等． 10．證明：正奇數(shù)集A與正整數(shù)集Z＋有相同的基數(shù)． 11．設(shè)A＝，R＝(－∞，＋∞)，建立一個(gè)A與R之間一一對應(yīng)關(guān)系． 12．設(shè)A為可數(shù)集，B為有限集或可數(shù)集，且A∩B＝，證明：A∪B為可數(shù)集． 13．上網(wǎng)搜集關(guān)于康托的生平材料，并整理出來．  參考答案 1．答案：D 2．答案：A 3．答案：B　解析：因?yàn)樽匀粩?shù)集和有理數(shù)集都是可數(shù)集，所以它們之間存在一一對應(yīng)關(guān)系． 4．答案：C　解析：Z＋與A之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，故Z＋與A的元素個(gè)數(shù)一樣多． 5．答案：A　解析：因?yàn)樗械目蓴?shù)集都可與正整數(shù)集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，所以它們的基數(shù)都相同． 6．答案：矩 7．答案：克羅內(nèi)克 8．證明：從集合(0,5)中任取一個(gè)元素x，按照對應(yīng)法則f：x→y＝，在集合(0,12)中存在唯一元素y與x對應(yīng)．反之，在(0,12)中任取一個(gè)元素y，按照對應(yīng)法則f：x→y＝, 在集合(0,5)中存在唯一的元素x與y對應(yīng)．從而建立了集合(0,5)與(0,12)之間的一一對應(yīng)關(guān)系． 9．證明：對于A中的任一個(gè)元素x，按照對應(yīng)法則f：y＝x＋1，則在B中存在唯一的一個(gè)元素y＝x＋1與之對應(yīng)；反之，對于集合B中的任一元素y，按照對應(yīng)法則f：y＝x＋1，在集合A中存在唯一的一個(gè)元素x與之對應(yīng)．故A與B之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，所以集合A與B對等． 10．證明：對于集合Z＋中的任一個(gè)元素x，按照對應(yīng)法則f：y＝2x－1，在集合A中存在唯一元素y與之對應(yīng)．反之，對于集合A中的任一元素y，按照對應(yīng)法則f：y＝2x－1，在Z＋中存在唯一的元素x與之對應(yīng)．這樣A與Z＋建立了一一對應(yīng)關(guān)系，所以A與Z＋有相同的基數(shù)． 11．解：在A中，任取一個(gè)元素x，按照對應(yīng)法則f：y＝tanx，在R中存在唯一的元素y與之對應(yīng)；反之，對于R中的任一元素y，按照對應(yīng)法則f：y＝tanx，在A中存在唯一的元素x與之對應(yīng)．這樣就建立了集合A與R之間的一一對應(yīng)關(guān)系． 12．證明：由于可數(shù)集總可排成無窮序列，不妨設(shè)A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}(當(dāng)B有限時(shí))或B＝{b1，b2，…，bn，…}(當(dāng)B可數(shù)時(shí))．由于當(dāng)B有限時(shí)(B排到前，A排在后)，A∪B＝{b1，b2，…，bn，a1，a2，…，an}； 又當(dāng)B可數(shù)時(shí)(交錯(cuò)排列)，A∪B＝{a1，b1，a2，b2，…，an，bn，…}． 可見A∪B總可以排成無窮序列，與正整數(shù)集一一對應(yīng)，從而是可數(shù)集． 13．答：參考材料如下： 康托(Cantor，Georg Ferdinand Philip,1845—1918)，德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者.1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日卒于哈雷.1862年入瑞士蘇黎世大學(xué)，翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，師從E.E.庫默爾、K.魏爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克.1867年獲博士學(xué)位，曾任哈雷大學(xué)教授．大學(xué)期間康托主修數(shù)論，受魏爾斯特拉斯的影響，對嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析理論感興趣．他在1872年以本序列(即柯西序列)定義無理數(shù)的實(shí)數(shù)理論，并初步提出以高階導(dǎo)出集的性質(zhì)作為對無窮集合的分類準(zhǔn)則.1873年他用一一對應(yīng)關(guān)系作為對無窮集合分類的準(zhǔn)則．他巧妙地將一條直線上的點(diǎn)與一個(gè)平面甚至幾維空間的點(diǎn)一一對應(yīng)起來．在研究無窮數(shù)與超限數(shù)理論時(shí)，他還引進(jìn)勢、基數(shù)、序數(shù)等概念并定義了基數(shù)之間的運(yùn)算及序的運(yùn)算法則，對有限數(shù)集理論作出了重要貢獻(xiàn)． 19世紀(jì)70年代許多數(shù)學(xué)家只承認(rèn)有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發(fā)展說的．他們不承認(rèn)已經(jīng)完成的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的各種超窮集合．康托集合論肯定了作為完成整體的實(shí)無窮，從而遭到了一些數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，特別是克羅內(nèi)克的批評與攻擊．另一方面，康托創(chuàng)建集合論的工作開始時(shí)就得到戴德金、魏爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵(lì)和贊揚(yáng).20世紀(jì)以后集合論不斷發(fā)展，已成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論．