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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第七講 分式方程和無理方程的解法 初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法．本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超過三個分式構(gòu)成的分式方程的解法，會用”去分母”或”換元法”求方程的根，并會驗根；(2)了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會用”平方”或”換元法”求根，并會驗根． 一、可化為一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程為一元二次方程 【例1】解方程 ． 分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程． 解：原方程可化為： 方程兩邊各項都乘以： 即， 整理得： 解得：或． 檢驗：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． 說明： (1) 去分母解分式方程的步驟： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母； ③去括號，把所有項都移到左邊，合并同類項； ④解一元二次方程； ⑤驗根． (2) 驗根的基本方法是代入原方程進行檢驗，但代入原方程計算量較大．而分式方程可能產(chǎn)生的增根，就是使分式方程的分母為0的根．因此我們只要檢驗一元二次方程的根，是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡公分母為0．若為0，即為增根；若不為0，即為原方程的解． 2．用換元法化分式方程為一元二次方程 【例2】解方程 分析：本題若直接去分母，會得到一個四次方程，解方程很困難．但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)，即得到一個關(guān)于的一元二次方程．最后在已知的值的情況下，用去分母的方法解方程． 解：設(shè)，則原方程可化為： 解得或． (1)當(dāng)時，，去分母，得； (2)當(dāng)時，． 檢驗：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0． 所以，，都是原方程的解． 說明：用換元法解分式方程常見的錯誤是只求出的值，而沒有求到原方程的解，即的值． 【例3】解方程 ． 分析：注意觀察方程特點，可以看到分式與互為倒數(shù)．因此，可以設(shè)，即可將原方程化為一個較為簡單的分式方程． 解：設(shè)，則 原方程可化為：． (1)當(dāng)時，； (2)當(dāng)時，． 檢驗：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0． 所以，原方程的解是，，． 說明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想． 二、可化為一元二次方程的無理方程 根號下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程． 1．平方法解無理方程 【例4】解方程 分析：移項、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解． 解：移項得： 兩邊平方得： 移項，合并同類項得： 解得：或 檢驗：把代入原方程，左邊右邊，所以是增根． 把代入原方程，左邊 = 右邊，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是． 說明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程的一般步驟： ①移項，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項均移到方程的右邊；②兩邊同時平方，得到一個整式方程；③解整式方程；④驗根． 【例5】解方程 分析：直接平方將很困難．可以把一個根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn)化為上例的模式，再用例4的方法解方程． 解：原方程可化為： 兩邊平方得： 整理得： 兩邊平方得： 整理得：，解得：或． 檢驗：把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根． 把代入原方程，左邊右邊，所以是增根． 所以，原方程的解是． 說明：含未知數(shù)的二次根式恰有兩個的無理方程的一般步驟： ①移項，使方程的左邊只保留一個含未知數(shù)的二次根式；②兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程；③一下步驟同例4的說明． 2．換元法解無理方程 【例6】解方程 分析：本題若直接平方，會得到一個一元四次方程，難度較大．注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：．因此，可以設(shè)，這樣就可將原方程先轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程處理． 解：設(shè)，則 原方程可化為：， 即，解得：或． (1)當(dāng)時，； (2)當(dāng)時，因為，所以方程無解． 檢驗：把分別代入原方程，都適合． 所以，原方程的解是． 說明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想． 練 習(xí) A 組 1．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2．用換元法解方程： 3．解下列方程： (1) (2) (3) 4．解下列方程： (1) (2) 5．用換元法解下列方程： (1) (2) B 組 1．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2．用換元法解下列方程： (1) (2) (3) 3．若是方程的解，試求的值． 4．解下列方程： (1) (2) 5．解下列方程： (1) (2) (3) 第七講 分式方程和無理方程的解法答案 A 組 1． 2． 3． 4．(1)．(2) ． 5． B 組 1． 2． 3． 4． 5．