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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 習(xí)題課2 新人教A版必修1
課時目標 1.加深對函數(shù)的基本性質(zhì)的理解.2.培養(yǎng)綜合運用函數(shù)的基本性質(zhì)解題的能力．
1．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f
0成立，則必有( )
A．函數(shù)f(x)先增后減
B．函數(shù)f(x)先減后增
C．f(x)在R上是增函數(shù)
D．f(x)在R上是減函數(shù)
3．已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，且a＋b>0，則有( )
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)a，則實數(shù)a的取值范圍是________．
1．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是增函數(shù)，已知x1>0，x2<0，且f(x1)0
C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)f(－x2)<0
2．下列判斷：
①如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點對稱，那么這個函數(shù)為偶函數(shù)；
②對于定義域為實數(shù)集R的任何奇函數(shù)f(x)都有f(x)f(－x)≤0；
③解析式中含自變量的偶次冪而不含常數(shù)項的函數(shù)必是偶函數(shù)；
④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)存在且唯一．
其中正確的序號為( )
A．②③④ B．①③
C．② D．④
3．定義兩種運算：a⊕b＝ab，a?b＝a2＋b2，則函數(shù)f(x)＝為( )
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
4．用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值，若函數(shù)f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，則t的值為( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
5．如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上是減函數(shù)，且最小值為3，那么f(x)在區(qū)間[－5，－1]上是( )
A．增函數(shù)且最小值為3 B．增函數(shù)且最大值為3
C．減函數(shù)且最小值為－3 D．減函數(shù)且最大值為－3
6．若f(x)是偶函數(shù)，且當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x－1，則f(x－1)<0的解集是( )
A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(1,2) D．(0,2)
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．若函數(shù)f(x)＝－為區(qū)間[－1,1]上的奇函數(shù)，則它在這一區(qū)間上的最大值為________．
8．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝2x－3，則f(－2)＋f(0)＝________.
9．函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a，若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
三、解答題
10．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝0.
(1)求證：函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)；
(2)解關(guān)于x的不等式f(x)<0.
11．已知f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
(1)若b≥1，求證：函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù)；
(2)是否存在實數(shù)a，b.使f(x)同時滿足下列二個條件：
①在(0,1)上是減函數(shù)，(1，＋∞)上是增函數(shù)；
②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．
能力提升
12．設(shè)函數(shù)f(x)＝1－，x∈[0，＋∞)．
(1)用單調(diào)性的定義證明f(x)在定義域上是增函數(shù)；
(2)設(shè)g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判斷g(x)在[0，＋∞)上的單調(diào)性(不用證明)，并由此說明f(x)的增長是越來越快還是越來越慢？
13．如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，設(shè)CD＝2x，梯形ABCD的周長為y.
(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求y的最大值，并指出相應(yīng)的x值．
1．函數(shù)單調(diào)性的判定方法
(1)定義法．
(2)直接法：運用已知的結(jié)論，直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)；還可以根據(jù)f(x)，g(x)的單調(diào)性判斷－f(x)，，f(x)＋g(x)的單調(diào)性等．
(3)圖象法：根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性．
2．函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的差異．
函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的定義域來說的，這一點與研究函數(shù)的單調(diào)性不同，從這個意義上說，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只是對函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能說f(x)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))．
習(xí)題課
雙基演練
1．C [由已知條件：>1，
不等式等價于，
解得－10，
知f(a)－f(b)與a－b同號，
由增函數(shù)的定義知選C.]
3．C [∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.
由函數(shù)的單調(diào)性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．
兩式相加得C正確．]
4．C [由圖象可知，當x＝0時，f(x)取得最大值；
當x＝－時，f(x)取得最小值．故選C.]
5. 0
解析 偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，
∴a－1＋2a＝0.∴a＝.
∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
又∵f(x)是偶函數(shù)，∴b＝0.
6．(－∞，－1)
解析 若a≥0，則a－1>a，解得a<－2，∴a∈?；
若a<0，則>a，解得a<－1或a>1，∴a<－1.
綜上，a∈(－∞，－1)．
作業(yè)設(shè)計
1．B [由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，因此由f(x1)0.故選B.]
2．C [判斷①，一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點對稱，是這個函數(shù)具有奇偶性的前提條件，但并非充分條件，故①錯誤．
判斷②正確，由函數(shù)是奇函數(shù)，知f(－x)＝－f(x)，特別地當x＝0時，f(0)＝0，所以f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
判斷③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定義域不關(guān)于坐標原點對稱，即存在1∈[0,1]，而－1?[0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③錯誤．
判斷④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根據(jù)確定一個函數(shù)的兩要素知，a取不同的實數(shù)時，得到不同的函數(shù)．故④錯誤．
綜上可知，選C.]
3．A [f(x)＝，f(－x)＝－f(x)，選A.]
4．D [當t>0時f(x)的圖象如圖所示(實線)
對稱軸為x＝－，則＝，∴t＝1.]
5．D [當－5≤x≤－1時1≤－x≤5，
∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.
從而f(x)≤－3，
又奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，
故f(x)在[－5，－1]是減函數(shù)．故選D.]
6．D [依題意，因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x－1)<0化為f(|x－1|)<0，
又x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，
即|x－1|<1，解得0－3
解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
∴[1，＋∞)為f(x)的增區(qū)間，
要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，則f(1)>0，
即3＋a>0，∴a>－3.
10．(1)證明 設(shè)x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
∴f(－x1)>f(－x2)．
由f(x)是奇函數(shù)，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)0，則f(x)0，x1－x2<0.
又b>1，且00，
∴f(x1)>f(x2)，
所以函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù)．
(2)解 設(shè)0x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－)－(1－)＝.
由x1>x2≥0?x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在定義域上是增函數(shù)．
(2)g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝，
g(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，自變量每增加1，f(x)的增加值越來越小，所以f(x)的增長是越來越慢．
13．解 (1)作OH，DN分別垂直DC，AB交于H，N，
連結(jié)OD.由圓的性質(zhì)，H是中點，設(shè)OH＝h，
h＝＝.
又在直角△AND中，AD＝
＝＝＝2，
所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4，其定義域是(0,2)．
(2)令t＝，則t∈(0，)，且x＝2－t2，
所以y＝4＋2(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，
當t＝1，即x＝1時，y的最大值是10.
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