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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 6.6 直接證明與間接證明練習(xí)
(25分鐘 50分)
一、選擇題(每小題5分,共35分)
1.(xx周口模擬)用反證法證明命題:若a+b+c為偶數(shù),則“自然數(shù)a,b,c恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確反設(shè)為( )
A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)
B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)
C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)
【解析】選D.由于“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”,故選D.
2.(xx北京模擬)若a,b,c是不全相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
證明過程如下:
因?yàn)閍,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
又因?yàn)閍,b,c不全相等,
所以以上三式至少有一個(gè)“=”不成立,
所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.
此證法是( )
A.分析法 B.綜合法
C.分析法與綜合法并用 D.反證法
【解析】選B.由已知條件入手證明結(jié)論成立,滿足綜合法的定義.
3.(xx東城模擬)在△ABC中,sinAsinC
0,
即cos(A+C)>0,
所以A+C是銳角,
從而B>,故△ABC必是鈍角三角形.
4.設(shè)a,b∈R,已知p:a=b;q:≤,則p是q成立的( )
A.必要不充分條件
B.充分不必要條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】選B,p:a=b是q:≤成立的充分不必要條件.
5.(xx寧波模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
【解析】選C.0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
6.若=loga,|logba|=-logba,則a,b滿足的條件是( )
A.a>1,b>1 B.01
C.a>1,01.
7.若a>b>c,則使+≥恒成立的最大的正整數(shù)k為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】選C.因?yàn)閍>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.
又+=+=2++≥2+2=4(當(dāng)且僅當(dāng)2b=a+c時(shí)取等號),
所以k≤+,k≤4,
故k的最大正整數(shù)為4,故選C.
二、填空題(每小題5分,共15分)
8.用反證法證明命題“若x2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時(shí),應(yīng)假設(shè)為 .
【解析】“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”,因此應(yīng)假設(shè)為x=a或x=b.
答案:x=a或x=b
【誤區(qū)警示】此題容易出現(xiàn):”x=a且x=b”的錯(cuò)誤答案.
9.若P=+,Q=+(a≥0),則P,Q的大小關(guān)系是 .
【解析】因?yàn)镻2=2a+7+2
=2a+7+2,
Q2=2a+7+2
=2a+7+2,
所以P20,Q>0,所以P1;②a+b=2;③a+b>2;
④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是 .(填序號)
【解析】若a=,b=,則a+b>1,
但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;
對于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,
反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,
則a+b≤2與a+b>2矛盾,
因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1.
答案:③
(20分鐘 40分)
1.(5分)(xx青島模擬)設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)+,+,+( )
A.都大于2 B.至少有一個(gè)大于2
C.至少有一個(gè)不小于2 D.至少有一個(gè)不大于2
【解析】選C.因?yàn)閤>0,y>0,z>0,所以++=+
+≥6,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號成立,則三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2,故選C.
2.(5分)(xx營口模擬)若a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷:
①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b與a0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是 .
【解析】要使+≥2,只要>0且>0,即a,b不為0且同號即可,故有3個(gè).
答案:3
4.(12分)(xx銀川模擬)如圖,幾何體ABC-EFD是由直三棱柱截得的,EF∥AB,∠ABC=90,AC=2AB=2,
CD=2AE=,
(1)求三棱錐D-BEC的體積.
(2)求證:CE⊥DB.
【解析】(1)由題意可證,EF⊥平面BCD,VD-BCE=VE-BCD
=S△BCDEF=1=.
(2)連接CF,依題意可得:AB⊥BF,AB⊥BC,而BF和BC是平面BFD內(nèi)的兩條相交直線,
故有AB⊥平面BFD.
而BD在平面BFD內(nèi),故AB⊥BD.
再由EF∥AB可得EF⊥BD.
又在Rt△BCF和Rt△CDB中,
因?yàn)?=,==,
所以=,
所以Rt△BCF∽Rt△CDB,
所以∠BDC=∠BCF,所以∠BDC+∠DCF=∠BCF+∠DCF=90,
所以CF⊥BD.
綜上可得,BD垂直于平面CEF內(nèi)的兩條相交直線,故有BD⊥平面CEF.
又CE?平面CEF,所以CE⊥DB.
5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列{An}:a1,a2,…,an.如果數(shù)列{Bn}:b1,b2,…,bn滿足b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,其中k=2,3,…,n,則稱{Bn}為{An}的“衍生數(shù)列”.
(1)寫出數(shù)列{A4}:2,1,4,5的“衍生數(shù)列”{B4}.
(2)若n為偶數(shù),且{An}的“衍生數(shù)列”是{Bn},證明:bn=a1.
(3)若n為奇數(shù),且{An}的“衍生數(shù)列”是{Bn},{Bn}的“衍生數(shù)列”是{Cn},…,依次將數(shù)列{An},{Bn},{Cn},…首項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列{Ω}:a1,b1,c1,…,證明:{Ω}是等差數(shù)列.
【解析】(1){B4}:5,-2,7,2.
(2)因?yàn)閎1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an,
由于n為偶數(shù),將上述n個(gè)等式中的第2,4,6,…,n這個(gè)式子都乘以-1,
相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…-(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…-(an-1+an),
即-bn=-a1,bn=a1.
(3)對于數(shù)列{An}及其“衍生數(shù)列”{Bn},因?yàn)閎1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3
=a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an,由于n為奇數(shù),將上述n個(gè)等式中的第2,4,6,…,n-1這個(gè)式子都乘以-1,
相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…+(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…+(an-1+an)即bn=an-a1+an=2an-a1.
設(shè)數(shù)列{Bn}的“衍生數(shù)列”為{Cn},因?yàn)閎1=an,c1=bn=2an-a1,
所以2b1=a1+c1,即a1,b1,c1成等差數(shù)列.
同理可證,b1,c1,d1;c1,d1,e1,…也成等差數(shù)列.
從而{Ω}是等差數(shù)列.
【加固訓(xùn)練】(1)如果a,b都是正數(shù),且a≠b,求證a6+b6>a4b2+a2b4.
(2)設(shè)a,b,c為△ABC的三條邊,求證(a+b+c)2<4(ab+bc+ca).
【證明】(1)a6+b6-(a4b2+a2b4)=a4(a2-b2)-b4(a2-b2)=(a2-b2)2(a2+b2),
因?yàn)閍,b都是正數(shù),且a≠b,
所以(a2-b2)2(a2+b2)>0,
所以a6+b6>a4b2+a2b4.
(2)要證原不等式成立,只需證4(ab+bc+ca)-(a+b+c)2>0,
即a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0,
即a2+b2+c2-a(b+c)-b(c+a)-c(a+b)<0,
也即a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立.
因?yàn)閍,b,c為△ABC的三條邊,所以a-(b+c)<0,b-(c+a)<0,c-(a+b)<0,
即a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立,所以原不等式也成立.
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