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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第46講 離散型隨機(jī)變量及其分布列練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.以實(shí)際問題為背景，結(jié)合常見的概率事件考查離散型隨機(jī)變量的分布列求法.2.一般與排列、組合、統(tǒng)計(jì)相結(jié)合綜合考查.3.多以解答題中考查，難度多屬中檔． 一、離散型隨機(jī)變量 　隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量． 二、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì) 1．一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列． 2．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) (1)pi≥0(i＝1,2，…，n)； (2)pi＝1. 三、常見離散型隨機(jī)變量的分布列 1．兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為 X 0 1 P 1－p p ，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率． 2．超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布. X 0 1 … m P … 運(yùn)用兩個(gè)分布列的關(guān)鍵 隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，常與事件成敗問題有關(guān)，隨機(jī)變量X服從超幾何分布多與產(chǎn)品抽檢問題有關(guān)． 1．拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么X＝4表示的基本事件是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn) B．兩顆都是2點(diǎn) C．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) D．甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) 【解析】　甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)與甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)是試驗(yàn)的兩個(gè)不同結(jié)果，故應(yīng)選D. 【答案】　D 2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0 B. C. D. 【解析】　由已知得X的所有可能取值為0,1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)， 由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝. 【答案】　C 3．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，則P(2＜X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 【答案】　A 4．從裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個(gè)超幾何分布問題，故所求概率為P＝＝. 【答案】　C 考向一 [189]　離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) 　設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 設(shè)η＝|x－1|，則P(η＝1)＝________. 【思路點(diǎn)撥】　先根據(jù)概率的性質(zhì)求m的值，再根據(jù)X的值，確定η＝|X－1|的值． 【嘗試解答】　由分布列的性質(zhì)，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 列表 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3. 規(guī)律方法1　1.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù). 2.若X是隨機(jī)變量，則η＝|X－1|等仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的概率求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　隨機(jī)變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中，a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________. 【解析】　由題意知?jiǎng)t2b＝1－b，則b＝，a＋c＝， 所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝. 【答案】　 考向二 [190]　離散型隨機(jī)變量的分布列 　(xx浙江高考改編)設(shè)袋子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．若從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列． 【思路點(diǎn)撥】　對(duì)取出球的顏色進(jìn)行分類以確定得分值，進(jìn)而確定隨機(jī)變量ξ的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，再列出分布列． 【嘗試解答】　由題意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P 規(guī)律方法2　1.求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：(1)明確隨機(jī)變量的取值；(2)求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；(3)列成表格． 2．求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量(件) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率． (1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率； (2)記X為第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列． 【解】　(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨) ＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為1件) ＝＋＝. (2)由題意知，X的可能取值為2,3. P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝＝； P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝＋＋＝. 所以X的分布列為 X 2 3 P 考向三 [191]　超幾何分布 　PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)． 某地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如莖葉圖10－7－1所示． 圖10－7－1 (1)小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游，求當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率； (2)小王在此期間也有兩天經(jīng)過此地，這兩天此地PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)，請(qǐng)計(jì)算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的概率； (3)從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列及期望． 【思路點(diǎn)撥】　(1)由莖葉圖可知：有2＋4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，據(jù)此利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出； (2)由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，據(jù)此可得出其概率； (3)由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)，利用“超幾何分布”即可得出． 【嘗試解答】　(1)記“當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A， 因?yàn)橛?＋4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下， 故P(A)＝＝. (2)記“這兩天此地PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)”為事件B，P(B)＝＝. (3)ξ的可能值為0,1,2,3. 由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)． P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 規(guī)律方法3　1.求解本例的第(3)問關(guān)鍵在于明確ξ服從超幾何分布. 2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對(duì)象分兩類；(2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中取出若干個(gè)；(4)研究取出某類對(duì)象的個(gè)數(shù)的概率分布. 3.要善于看出某些實(shí)際問題實(shí)質(zhì)是超幾何分布，或?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為超幾何分布，一種方式就是將一類對(duì)象視為合格品，另一類對(duì)象視為不合格品，再對(duì)其進(jìn)行解釋. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　某校高三年級(jí)同學(xué)進(jìn)行體育測(cè)試，測(cè)試成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)，測(cè)試結(jié)果如下表：(單位：人) 優(yōu)秀 良好 合格 男 180 70 20 女 120 a 30 按優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)分層，從中抽取50人，其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)的有30人． (1)求a的值； (2)若用分層抽樣的方法，在合格的同學(xué)中按男女抽取一個(gè)容量為5的樣本，從中任選2人，記X為抽取女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【解】　(1)設(shè)該年級(jí)共n人，由題意得＝，所以n＝500. 則a＝500－(180＋120＋70＋20＋30)＝80. (2)依題意，X所有取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. X的分布列為： X 0 1 2 P E(X)＝0＋1＋2＝ 規(guī)范解答之二十三　離散型隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)交匯問題 ————[1個(gè)示范例]————[1個(gè)規(guī)范練]———— 　　　(12分)在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)．某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖10－7－2所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人． (1)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)； (2)若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分． ①求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分； ②若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望． 圖10－7－2 【規(guī)范解答】　(1)因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人， 所以該考場(chǎng)有100.25＝40人.1分 所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為 40(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝400.075＝3.3分 (2)求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為 [1(400.2)＋2(400.1)＋3(400.375)＋4(400.25)＋5(400.075)]＝2.9.6分 (3)設(shè)兩人成績(jī)之和為ξ，則ξ的值可以為16,17,18,19,20，7分 P(ξ＝16)＝＝，P(ξ＝17)＝＝， P(ξ＝18)＝＋＝，P(ξ＝19)＝＝， P(ξ＝20)＝＝， 所以ξ的分布列為 X 16 17 18 19 20 P 10分 所以Eξ＝16＋17＋18＋19＋20＝. 所以ξ的數(shù)學(xué)期望為.12分 【名師寄語】　解答此類問題注意以下幾點(diǎn)：,(1)認(rèn)真審題，根據(jù)題目要求，準(zhǔn)確從圖表中提取信息. (2)正確找出隨機(jī)變量ξ的取值，并求出取每一個(gè)值的概率，提高計(jì)算能力. (3)要注意語言敘述的規(guī)范性，解題步驟應(yīng)清楚、正確、完整，不要漏掉必要說明及避免出現(xiàn)嚴(yán)重跳步現(xiàn)象. (xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖10－7－3所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)． 圖10－7－3 (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)．求T的數(shù)學(xué)期望． 【解】　(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當(dāng)X∈[130,150]時(shí)， T＝500130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120, 150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45 0000.1＋53 0000.2＋61 0000.3＋65 0000.4＝59 400.