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一數學歸納法,1.數學歸納法的概念一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當n=n0時命題成立;(2)假設當n=k(k∈N+,且k≥n0)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數都成立,這種證明方法稱為數學歸納法.,,,名師點撥數學歸納法與歸納法的關系:歸納法是由一系列特殊事例得出一個結論的推理方法,它屬于歸納推理.而數學歸納法是一種演繹推理方法,是一種證明命題的方法.,答案：D,2.數學歸納法的步驟,名師點撥1.數學歸納法的兩個步驟缺一不可,第一步中驗證n的初始值至關重要,它是遞推的基礎,但n的初始值不一定是1,而是n的取值范圍內的最小值.2.第二步證明的關鍵是運用歸納假設.在使用歸納假設時,應分析p(k)與p(k+1)的差異與聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等手段,或從歸納假設出發(fā),從p(k+1)中分離出p(k)再進行局部調整.,做一做2利用數學歸納法證明不等式(n≥2,n∈N+)的過程中,由n=k到n=k+1時,左邊增加了()A.1項B.k項C.2k-1項D.2k項,答案：D,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“”.(1)用數學歸納法證明問題時,第一步是驗證當n=1時結論成立.()(2)所有與正整數有關的數學命題都可以用數學歸納法證明.()(3)用數學歸納法證明問題時,只要推理過程正確,歸納假設可以不用.()(4)不論是等式還是不等式,用數學歸納法證明時,由n=k到n=k+1時,項數都增加了一項.(),,,,,探究一,探究二,探究三,思維辨析,用數學歸納法證明整除問題【例1】用數學歸納法證明:(3n+1)7n-1(n∈N+)能被9整除.分析：在第二步證明中,注意利用歸納假設,對當n=k+1時的式子進行合理變形.證明：(1)當n=1時,(31+1)7-1=27能被9整除,命題成立.(2)假設當n=k(k≥1)時命題成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.當n=k+1時,[3(k+1)+1]7k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.因為(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除,所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除,即當n=k+1時命題成立,由(1)(2)可知,(3n+1)7n-1(n∈N+)能被9整除.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟用數學歸納法證明整除問題時,首先從要證的式子中拼湊出假設成立的式子,然后證明剩余的式子也能被某式(數)整除.其中的關鍵是“湊項”,可采用增項、減項、拆項和因式分解等方法分析出因子,從而利用歸納假設使問題得到解決.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練1用數學歸納法證明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中n∈N+,a∈R.證明：(1)當n=1時,an+1+(a+1)2n-1即為a2+a+1,能夠被a2+a+1整除,命題成立.(2)假設當n=k(k≥1)時命題成立,即ak+1+(a+1)2k-1能夠被a2+a+1整除,當n=k+1時,ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]-a(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2k-1(a2+a+1).由歸納假設知,上式能夠被a2+a+1整除,即當n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知,命題對任意n∈N+都成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,用數學歸納法證明等式【例2】用數學歸納法證明:分析：按照數學歸納法的步驟進行證明,注意第二步中合理運用歸納假設.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,證明：(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,命題成立.,即當n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知,命題對任意n∈N+都成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟應用數學歸納法證明等式時應注意的問題1.第一步的驗證,對于有些問題驗證的并不是n=1,有時需驗證n=2或n=3等.2.注意當n=k+1時式子的項數,特別是尋找n=k與n=k+1的關系式之間的關系時,項數發(fā)生變化容易被弄錯,因此對當n=k與n=k+1時關系式的正確分析是應用數學歸納法成功證明問題的保障.3.在第二步的證明過程中一定要用上歸納假設,否則這樣的證明就不再是數學歸納法.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練2用數學歸納法證明:1+32+522+…+(2n-1)2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+).證明：(1)當n=1時,左邊=1,右邊=2(2-3)+3=1,左邊=右邊,命題成立.(2)假設當n=k(k≥1)時命題成立,即1+32+522+…+(2k-1)2k-1=2k(2k-3)+3.當n=k+1時,1+32+522+…+(2k-1)2k-1+(2k+1)2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)2k=2k(4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3,即當n=k+1時命題成立.由(1)(2)知,命題對任何n∈N+都成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,用數學歸納法證明平面幾何問題【例3】平面內有n個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任意三個圓不相交于同一點,求證這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2(n∈N+)個部分.分析：因為f(n)為n個圓把平面分割成的區(qū)域數,所以再有一個圓和這n個圓相交,就有2n個交點,這些交點將增加的這個圓分成2n段弧,且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二,所以增加一個圓后,平面分成的區(qū)域數增加2n個,即f(n+1)=f(n)+2n.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,證明：(1)當n=1時,一個圓將平面分成兩個部分,且f(1)=1-1+2=2,所以當n=1時命題成立.(2)假設當n=k(k≥1)時命題成立,即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分.當n=k+1時,在k+1個圓中任取一個圓O,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分,而圓O與這k個圓有2k個交點,這2k個點將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.故當n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知,對一切n∈N+命題成立,即這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分(n∈N+).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練3平面上有n(n∈N+)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條直線不過同一點,求證:這n條直線把平面分成個部分.,證明：(1)當n=1時,一條直線把平面分成2部分,(2)假設當n=k(k≥1)時命題成立,即k條直線把平面分成,當n=k+1時,即增加一條直線l,因為任何兩條直線都相交,所以l與k條直線都相交,有k個交點;又因為任何三條直線不共點,所以這k個交點不同于k條直線的交點,且k個交點也互不相同,所以k個交點把直線l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面區(qū)域分成2部分,故新增加了(k+1)個部分.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,即當n=k+1時命題也成立.由(1)(2)知,命題對任何n∈N+都成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,證明過程中未用歸納假設致錯,即當n=k+1時命題成立.由(1)(2)知,命題對n∈N+成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,即當n=k+1時命題成立.由(1)(2)知,命題對n∈N+成立.,糾錯心得本題的錯誤在于證明當n=k+1命題成立這一步驟時,沒有運用歸納假設,而是直接利用等比數列的前n項和公式求得,這不是用數學歸納法證明問題,是錯誤的.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,即當n=k+1時命題成立.由(1)(2)知,命題對于任意的n∈N+都成立.,12345,,,,,,1.在用數學歸納法證明凸多邊形內角和定理時,第一步應驗證()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立解析：凸n邊形的內角和為(n-2)π,最少邊的凸n邊形為三角形,所以應驗證當n=3時成立.答案：C,12345,,,,,,2.用數學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(n∈N+,a≠1),在驗證當n=1時,左邊所得的項為()A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3解析：因為當n=1時,an+1=a2,所以此時式子左邊=1+a+a2.答案：B,12345,,,,,,3.用數學歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(n∈N+),由n=k到n=k+1,等式左邊的變化是()A.多乘了(2k+1)B.多乘了2(2k+1)C.多乘了(2k+1)(2k+2)D.多乘了2(k+1),答案：B,12345,,,,,,4.用數學歸納法證明“5n-2n能被3整除”的第二步中,當n=k+1時,為了使用歸納假設應將5k+1-2k+1變形為.解析：假設當n=k(k≥1)時,5k-2k能被3整除,則當n=k+1時,5k+1-2k+1=5(5k-2k)+32k.由假設知5k-2k能被3整除,又32k能被3整除,故5(5k-2k)+32k能被3整除.答案：5(5k-2k)+32k,12345,,,,,,5.平面內有n(n≥2,n∈N+)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點,證明交點的個數f(n)=,證明：(1)當n=2時,兩條直線有一個交點,f(2)=1,命題成立.(2)假設當n=k(k≥2,k∈N+)時,命題成立,那么,當n=k+1時,第(k+1)條直線與前k條直線均有一個交點,即新增k個交點,即當n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知,命題對任何n≥2,n∈N+都成立.,