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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.2拋物線的簡單性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，過點(－2,3)的拋物線方程是(　　) A．y2＝x B．x2＝y(tǒng) C．y2＝－x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝y(tǒng) [答案]　D [解析]　∵點(－2,3)在第二象限， ∴設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)， 又點(－2,3)在拋物線上， ∴9＝4p，p＝，4＝6p′，p′＝. 2．(xx山師大附中高二期中)拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點恰好與橢圓＋＝1的一個焦點重合，則p＝(　　) A．1　　 B．2　　 C．4　　 D．8 [答案]　C [解析]　橢圓中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點F(－，0)與F1重合，∴－＝－2，∴p＝4，故選C. 3．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點(　　) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) [答案]　B [解析]　∵圓心到直線x＋2＝0的距離等于到拋物線焦點的距離，∴定點為(2,0)． 4．拋物線y2＝4x上點P(a,2)到焦點F的距離為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 [答案]　B [解析]　∵點P(a,2)在拋物線上， ∴4a＝4，∴a＝1，∴點P(1,2)． 又拋物線的焦點F坐標(biāo)為(1,0)， ∴|PF|＝＝2. 5．P為拋物線y2＝2px的焦點弦AB的中點，A、B、P三點到拋物線準(zhǔn)線的距離分別是|AA1|、|BB1|、|PP1|，則有(　　) A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB| C．|PP1|>|AB| D．|PP1|<|AB| [答案]　B [解析]　如圖， 由題意可知|PP1|＝， 根據(jù)拋物線的定義，得 |AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∴|PP1|＝＝|AB|. 6．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若點A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為(　　) A．45 B．60 C．90 D．120 [答案]　C [解析]　設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)． 如圖，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B. 又AA1∥Ox∥B1B， ∴∠A1FO＝∠AF1A，∠B1FO＝∠FB1B， ∴∠A1FB1＝∠AFB＝90. 二、填空題 7．沿直線y＝－2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2＝ax反射后，與x軸相交于點A(2,0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________． [答案]　x＝－2 [解析]　由拋物線的幾何性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行，及直線y＝－2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點，故準(zhǔn)線方程為x＝－2. 8．一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2＝ax上，另一個頂點在坐標(biāo)原點，如果這個三角形的面積為36，則a＝________. [答案]　2 [解析]　設(shè)正三角形邊長為x. 由題意得，36＝x2sin60，∴x＝12. 當(dāng)a>0時，將(6，6)代入y2＝ax，得a＝2. 當(dāng)a<0時，將(－6，6)代入y2＝ax，得a＝－2，故a＝2. 三、解答題 9．已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2，求拋物線的方程． [答案]　y2＝3x或y2＝－3x [解析]　如圖，設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，設(shè)交點A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由對稱性知y2＝－y1，∴y1＝.將y1＝代入x2＋y2＝4得x＝1，∴點(1，)、(－1，)分別在拋物線y2＝2px，y2＝－2px上．∴3＝2p或3＝(－2p)(－1)．∴p＝.故所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x. 10．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點． (1)求證：OA⊥OB； (2)當(dāng)△OAB的面積等于時，求k的值． [答案]　(1)略　(2) [解析]　(1)如圖所示，由方程組，消去x得，ky2＋y－k＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2＝－1，y1＋y2＝－. ∵A，B在拋物線y2＝－x上， ∴y＝－x1，y＝－x2，∴yy＝x1x2. ∵kOAkOB＝＝＝＝－1， ∴OA⊥OB. (2)設(shè)直線與x軸交于N，顯然k≠0. 令y＝0，則x＝－1，即N(－1,0)． ∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON||y1－y2|， ∴S△OAB＝1 ＝. ∵S△OAB＝， ∴＝， 解得k＝. 一、選擇題 1．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(　　) A.　 B．－　 C．8　　 D．－8 [答案]　B [解析]　y＝ax2?x2＝y(tǒng)，由題意得 ＝－2，a＝－，故選B. 2．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 [答案]　B [解析]　本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線定義的應(yīng)用等知識． 由于拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點在坐標(biāo)原點且經(jīng)過點M(2，y0)，可設(shè)方程為y2＝2px，由點M到拋物線焦點的距為3，則由拋物線定義得2＋＝3，解得p＝2，則y2＝4x，又M(2，y0)在拋物線y2＝4x上，則y＝8，|OM|＝＝＝2. 3．(xx湖南省長沙一中期中考試)已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30的直線，與拋物線交于A，B兩點，若∈(0,1)，則＝(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　因為拋物線的焦點為(0，)，直線方程為y＝x＋，與拋物線方程聯(lián)立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p， 所以＝＝.故選C. 4．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸相交于點Q，若過點Q的直線與拋物線有公共點，則此直線的斜率的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] [答案]　C [解析]　準(zhǔn)線x＝－2，Q(－2,0)，設(shè)y＝k(x＋2)， 由，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0， 當(dāng)k＝0時，x＝0，即交點為(0,0)；當(dāng)k≠0時，由Δ≥0得，－1≤k<0或06， ∴點A在拋物線外部，拋物線的焦點為F(0,1)，準(zhǔn)線l：y＝－1，過點P作PB⊥l于B，交x軸于C，如上圖所示，則|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1，要使|PA|＋|PC|最小，只需P，A，F(xiàn)三點在一條直線上，此時，|PA|＋|PF|＝|AF|＝13. 故|PA|＋|PC|的最小值為12. 8．拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程． [答案]　y2＝4x [解析]　如圖所示，依題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)， 則直線方程為y＝－x＋p. 設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋， 即x1＋＋x2＋＝8. ① 又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點， 由，消去y得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p.將其代入①得p＝2，∴所求拋物線方程為y2＝4x. 當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2＝－2px時，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.