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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 統(tǒng)計(jì) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 新人教A版必修3 1. 簡單隨機(jī)抽樣的含義 一般地,設(shè)一個(gè)總體有N個(gè)個(gè)體, 從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（n≤N）, 如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等, 則這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣. ⑴每個(gè)個(gè)體每次被抽到的概率是 ； ⑵每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是 ； ●根據(jù)你的理解，簡單隨機(jī)抽樣有哪些主要特點(diǎn)？ ⑴總體的個(gè)體數(shù)有限； ⑵樣本的抽取是逐個(gè)進(jìn)行的，每次只抽取一個(gè)個(gè)體； ⑶抽取的樣本不放回，樣本中無重復(fù)個(gè)體； ⑷每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，抽樣具有公平性. 2．簡單隨機(jī)抽樣常用的方法： ⑴抽簽法；⑵隨機(jī)數(shù)表法；⑶計(jì)算機(jī)模擬法；⑷使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。 ★抽簽法的操作步驟？ 第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào)，并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上. 第二步，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，并攪拌均勻 第三步，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本. ●抽簽法有哪些優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？ 優(yōu)點(diǎn)：簡單易行，當(dāng)總體個(gè)數(shù)不多的時(shí)候攪拌均勻很容易，個(gè)體有均等的機(jī)會(huì)被抽中，從而能保證樣本的代表性. 缺點(diǎn)：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)很難攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差的可能性很大；誤差相比其它抽樣也比較大。 ★利用隨機(jī)數(shù)表法從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，其抽樣步驟如何？ 第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào). 第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為起始數(shù). 第三步，從選定的數(shù)開始依次向右（向左、向上、向下）讀，將編號(hào)范圍內(nèi)的數(shù)取出，編號(hào)范圍外的數(shù)去掉，直到取滿n個(gè)號(hào)碼為止，就得到一個(gè)容量為n的樣本. 系統(tǒng)抽樣： 1. 系統(tǒng)抽樣的定義： 一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣. ●由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特征： ⑴當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣。 ⑵將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，間隔一般為k＝. ⑶預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào) ★系統(tǒng)抽樣的一般步驟 ⑴用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本時(shí)，首先要做的工作是什么？將總體中的所有個(gè)體編號(hào). 如果用系統(tǒng)抽樣從605件產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行質(zhì)量檢查，由于605件產(chǎn)品不能均衡分成60部分，⑵應(yīng)先從總體中隨機(jī)剔除5個(gè)個(gè)體，再均衡分成60部分. 一般地，用系統(tǒng)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，其操作步驟如何？ 第一步，將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào). 第二步，確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段. 第三步，在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)l. 第四步，按照一定的規(guī)則抽取樣本. 分層抽樣 1. 分層抽樣的定義: 若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時(shí)，先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，再將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這樣的抽樣叫做分層抽樣. 所以分層抽樣又稱類型抽樣. ●應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求及具體步驟： ⑴分層：將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則。 ⑵分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等。 ★一般地，分層抽樣的操作步驟如何 第一步，計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比 第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個(gè)體數(shù) 第三步，用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個(gè)體 第四步，將各層抽取的個(gè)體合在一起，就得到所取樣本 2. 簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣的類比學(xué)習(xí) 練習(xí)題： 一、選擇題： 1．某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．為了調(diào)查他們的身體狀況，需從他們中抽取一個(gè)容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是( )． A．簡單隨機(jī)抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．分層抽樣 D．先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣 2．某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見，打算從高一年級(jí)xx名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行抽查，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從xx人中剔除7人，剩下xx人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的機(jī)會(huì)（ ） A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 無法確定 3．有20位同學(xué)，編號(hào)從1至20，現(xiàn)在從中抽取4人作問卷調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所 抽的編號(hào)為( ) A.5，10，15，20 B.2，6，10，14 C.2，4，6，8 D.5，8，11，14 4．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)，公 司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為(1)；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為(2)。則完成(1)、(2)這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（ ） A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣 C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D.簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 5. 某校1000名學(xué)生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，要從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，按照分層抽樣的方法抽取樣本，則O型血、A型血、B型血、AB型血的人要分別抽的人數(shù)為（ ） A.16、10、10、4 B.14、10、10、6 C.13、12、12、3 D.15、8、8、9 6. 為了了解廣州地區(qū)初三學(xué)生升學(xué)考試數(shù)學(xué)成績的情況，從中抽取50本密封試卷，每本30份試卷，這個(gè)問題中的樣本容量是（ ） A.30 B.50 C.1500 D.150 7. 某單位有技工18人、技術(shù)員12人、工程師6人，需要從這些人中抽取一個(gè)容量為n的樣本.如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個(gè)體；如果容量增加一個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中剔除1個(gè)個(gè)體，則樣本容量n為（ ） A.4 B.5 C.6 D.無法確定 二、填空題 8.（xx安慶模擬）某校高中生共有900人，其中高一年級(jí)300人，高二年級(jí)200人，高 三年級(jí)400人，現(xiàn)分層抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為 . 9.某牛奶生產(chǎn)線上每隔30分鐘抽取一袋進(jìn)行檢驗(yàn)，則該抽樣方法為①；從某中學(xué)的30名數(shù) 學(xué)愛好者中抽取3人了解學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，則該抽樣方法為②.那么①，②分別為 . 10.下列抽樣實(shí)驗(yàn)中，最適宜用系統(tǒng)抽樣的是 （填序號(hào)）. ①某市的4個(gè)區(qū)共有2 000名學(xué)生，且4個(gè)區(qū)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶2∶8∶2，從中抽取200人入樣； ②某廠生產(chǎn)的2 000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣； ③從某廠生產(chǎn)的2 000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取200個(gè)入樣； ④從某廠生產(chǎn)的20個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣； 11.（xx重慶文）某校高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情 況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是 . 12.某中學(xué)有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生300人，高三學(xué)生200人，學(xué)校團(tuán)委欲用分層抽樣的 方法抽取18名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷不正確的是 （填序號(hào)）. ①高一學(xué)生被抽到的概率最大 ②高三學(xué)生被抽到的概率最大 ③高三學(xué)生被抽到的概率最小 ④每名學(xué)生被抽到的概率相等 13.某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、 30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測，若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是 . 14.（xx天津文，11）一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45 歲的有80人.為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過45歲的職工 人. 15.將參加數(shù)學(xué)競賽的1 000名學(xué)生編號(hào)如下0001，0002，0003，…，1000，打算從中抽取 一個(gè)容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個(gè)部分，如果第一部分編號(hào)為0001，0002，…，0020，從第一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為0015，則第40個(gè)號(hào)碼為 . 16．管理人員從一池塘內(nèi)撈出30條魚，做上標(biāo)記后放回池塘。10天后，又從池塘內(nèi)撈出50條魚，其中有標(biāo)記的有2條。根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計(jì)該池塘內(nèi)共有 條魚。 17.某校高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為185 的樣本，已知在高一年級(jí)抽取了75人，高二年級(jí)抽取了60人，則高中部共有__ __學(xué)生。 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 一、我們把樣本抽取后，要對(duì)樣本進(jìn)行分析來研究總體的分布情況，對(duì)樣本進(jìn)行分析常采取兩種 方式：⑴列頻率分布表； ⑵做頻率分布直方圖. ●列頻率分布表的步驟： ⑴求極差（即樣本中的最大值與最小值的差）； ⑵決定組距與組數(shù)（）； ⑶將數(shù)據(jù)分組； ⑷列頻率分布表. ●根據(jù)頻率分布表做頻率分布直方圖應(yīng)注意兩點(diǎn)： ⑴縱軸的意義： ⑵橫軸的意義：樣本內(nèi)容（每個(gè)矩形下面是組距）. 二、典例精析 例1：下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位ｃｍ) (1)列出樣本頻率分布表﹔ (2)一畫出頻率分布直方圖; (3)估計(jì)身高小于134ｃｍ的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.。 例2：為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)次測試，將所得數(shù)90 100 110 120 130 140 150 次數(shù) o 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020 0.024 0.028 頻率/組距 0.032 0.036 據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12. (1) 第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？ (2) 若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？ (3) 在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請說明理由。 分析：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。 1．根據(jù)某水文觀測點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖如下．從圖中可以看出，該水文觀測點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A．48米 B．49米 C．50米 D．51米 0.5% 1% 2% 水位（米） 30 31 32 33 48 49 50 51 2．常用的抽樣方法有： 。 3．(xx年新課程卷文第13題)據(jù)新華社 2002年3月12日電，1985年～xx年我 25.0 國農(nóng)村人均居住面積如圖所示，其中，從 20.0 年到 年的五年間增長最快． 15.0 1985 1990 1995 xx 時(shí)速（km） 0 01 0 02 0 03 0 04 頻率 組距 40 50 60 70 80 4 已知輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速 的頻率分布直方圖如右圖所示，則時(shí)速在 的汽車大約有_________輛. ] 5．(12分)為了解某地初三年級(jí)男生的身高情況，從其中的一個(gè)學(xué)校選取容量為60的樣本(60名男生的身 高)，分組情況如下： 分組 147.5～155.5 155.5～163.5 163.5～171.5 171.5～179.5 頻數(shù) 6 2l m 頻率 a 0.1 (1)求出表中a，m的值． (2)畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖 答案：一、選擇題：1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 二、填空題：8.15，10，20 9.系統(tǒng)抽樣，簡單隨機(jī)抽樣 10.③ 11.分層抽樣法 12.①②③ 13.6 14.10 15.0795 16.750 17.3700 解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小， 因此第二小組的頻率為： 又因?yàn)轭l率= 所以 （2）由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為 （3）由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)。