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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文（含解析） 請點擊修改第I卷的文字說明 評卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．菱形的對角線相等，正方形是菱形，所以正方形的對角線相等。在以上三段論的推理中（ ） A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．結(jié)論錯誤 【答案】A 【解析】 試題分析：大前提，“菱形的對角線相等”， 小前提，正方形是菱形， 結(jié)論，所以正方形的對角線相等， 大前提是錯誤的，因為菱形的對角線垂直平分． 以上三段論推理中錯誤的是：大前提，故選A．. 考點：演繹推理的基本方法. 2．已知點P(1,2)是曲線y=2x2上一點，則P處的瞬時變化率為 （ ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【解析】 試題分析： y′|x=1=4x|x=1=4，故答案為B. 考點：導(dǎo)數(shù)的運算. 3．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（ ） (A)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度； (B)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度； (C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度； (D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度。 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；即“三內(nèi)角都大于60度”．故選B. 考點：反證法與放縮法. 4．下列求導(dǎo)運算正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析： A．（x+）′=1-，∴A錯誤． B．（x2cosx）′=-2xsinx-x2sinx，∴B錯誤． C．（3x）′=3xln3，∴C錯誤． D．（log2x）′=，正確． 故選：D．. 考點：導(dǎo)數(shù)的運算．. 5．如圖所示，圖中有5組數(shù)據(jù)，去掉　　　組數(shù)據(jù)后（填字母代號），剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】A 【解析】 試題分析：∵A、B、C、D四點分布在一條直線附近且貼近某一直線，E點離得遠．∴去掉E點剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大，故答案為：A. 考點：變量間的相關(guān)關(guān)系．. 6．在一次實驗中，測得的四組值分別是，則與之間的回歸直線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（2.5，3.5），把樣本中心點代入四個選項中，只有y=x+1成立， 故選A. 考點：線性回歸方程. 7．曲線在處的切線平行于直線，則點的坐標為（ ） A. B. C.和 D.和 【答案】D 【解析】 試題分析：因為直線y=4x-1的斜率為4，且切線平行于直線y=4x-1， 所以函數(shù)在p0處的切線斜率k=4，即f（x）=4． 因為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f（x）=3x2+1， 由f（x）=3x2+1=4，解得x=1或-1． 當x=1時，f（1）=0，當x=-1時，f（-1）=-4． 所以p0的坐標為（1，0）或（-1，-4）. 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．. 8．分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時 且的解集為（ ） A．（－2，0）∪（2，+∞） B．（－2，0）∪（0，2） C．（－∞，－2）∪（2，+∞） D．（－∞，－2）∪（0，2） 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)F（x）=f（x）g（x），當x＜0時， ∵F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0． ∴F（x）在當x＜0時為增函數(shù)． ∵F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）?g（x）．=-F（x）． 故F（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)． ∴F（x）在（0，+∞）上亦為增函數(shù)． 已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0． 構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知 F（x）＜0的解集為x∈（-∞，-3）∪（0，3）． 故選D. 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．. 9．利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量與是否有關(guān)系時，通過查閱下表來確定“和有關(guān)系”的可信度。如果，那么就有把握認為“和有關(guān)系”的百分比為（ ） A．25% B．95% C．5% D．97.5% 【答案】B 【解析】 試題分析：解：∵k＞5、024， 而在觀測值表中對應(yīng)于5.024的是0.025， ∴有1-0.025=97.5%的把握認為“X和Y有關(guān)系”， 故選D．. 考點：獨立性檢驗的應(yīng)用．. 10．函數(shù)的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：，令y′=0，得x=e， 當x＞e時，y′＞0，f（x）為增函數(shù)， 當0＜x＜e時，y′＜0，f（x）為，減函數(shù)， ∴f（x）在x=e處取極大值，也是最大值，∴y最大值為f（e）=，故選D. 考點：函數(shù)在某點取得極值的條件. 11．是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如下圖所示，則f（x）的圖象只可能是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 試題分析：由圖可以看出函數(shù)y=f′（x）的圖象是一個二次函數(shù)的圖象， 在a與b之間，導(dǎo)函數(shù)的值是先增大后減小 故在a與b之間，原函數(shù)圖象切線的斜率是先增大后減小 因此故排除答案A，B，C． 故答案為：D． 考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系. 12．已知三次函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ） A.-1 B.2 C.-5 D.-3 【答案】C 【解析】 試題分析：求導(dǎo)得：f’（x）=3ax2+2bx+c，結(jié)合圖象可得 x=-1，2為導(dǎo)函數(shù)的零點，即f’（-1）=f’（2）=0， 故，解得故，故答案為：-5. 考點：導(dǎo)數(shù)的運算；函數(shù)的圖象．.  第II卷（非選擇題） 請點擊修改第II卷的文字說明 評卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 13．過點P（－1，2）且與曲線y=3x2-4x+2在點M（1，1）處的切線平行的直線方程是________． 【答案】2x－y+4=0 【解析】 試題分析： y’=6x-4，∴切線斜率為61-4=2．∴所求直線方程為y-2=2（x+1），即2x-y+4=0． 故答案為：2x-y+4=0． 考點：直線的點斜式方程；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．. 14．已知 ，猜想的表達式為 【答案】 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，f（1）=1，f（2）=，f（3）=，f（4）=，…可以歸納f（x）為分數(shù)，且其分子為2不變，分母為x+1； 即，故答案為．. 考點：歸納推理. 15．如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，則小正方形的邊長為 時，盒子容積最大？。 【答案】1 【解析】 試題分析：設(shè)小正方形的邊長為xcm，則x∈（0，）； 盒子容積為：y=（8-2x）?（5-2x）?x=4x3-26x2+40x， 對y求導(dǎo)，得y′=12x2-52x+40，令y′=0，得12x2-52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去）， 所以，當0＜x＜1時，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增；當1＜x＜時，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減； 所以，當x=1時，函數(shù)y取得最大值18； 所以，小正方形的邊長為1cm，盒子容積最大，最大值為18cm3．. 考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．. 16．點P是曲線上任意一點，則點P到直線的距離的最小值是 【答案】 【解析】 試題分析：解：設(shè)P（x，y），則y′=2x-（x＞0） 令2x-=1，則（x-1）（2x+1）=0， ∵x＞0，∴x=1 ∴y=1，即平行于直線y=x+2且與曲線y=x2-lnx相切的切點坐標為（1，1），由點到直線的距離公式可得d=，故答案為：. 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；兩條平行直線間的距離．. 評卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 17．已知函數(shù)在區(qū)間，上有極大值． （1）求實常數(shù)m的值． （2）求函數(shù)在區(qū)間，上的極小值． 【答案】(1) m＝4;(2). 【解析】 試題分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)四則運算計算函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）=0，求出函數(shù)的極大值，即可求出m； （2）根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求出答案. 試題解析：解：．　令，可解得，x＝2． 當x變化時，，變化情況為： 5分； （1）當x＝－2時，取極大值，故．解得m＝4． （2）由，． 當時，取極小值，為． 10分； 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的極值； 18．通過隨機詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表： 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 附： 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 試考查大學(xué)生“愛好該項運動是否與性別有關(guān)”，若有關(guān)，請說明有多少把握。 【答案】有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”. 【解析】 試題分析：由已知中判斷愛好該項運動是否與性別有關(guān)時，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)此算得k2≈7.8，且7.8＞6.635，而P（k2≥6.635）≈0.01，故我們有99%的把握認為愛好該項運動與性別有關(guān)．則出錯的可能性為1%. 試題解析：由>6.635，所以有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”。 12分‘ 考點：獨立性檢驗．. 19．關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費用（萬元），有如下的統(tǒng)計資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)如由資料可知對呈線形相關(guān)關(guān)系.試求：線形回歸方程；（，） (2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？ 【答案】(1) (2) 12.38萬元. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點一定在線性回歸方程上，求出a的值，從而得到線性回歸方程； （2）當自變量為10時，代入線性回歸方程，求出當年的維修費用，這是一個預(yù)報值．. 試題解析：解：（1） 6分； 于是. 所以線形回歸方程為： 8分； （2）當時，， 即估計使用10年是維修費用是12.38萬元. 12分； 考點：線性回歸方程．. 20．已知某工廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（元）， 問：（1）要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ （2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 【答案】(1) 1000 ;(2) 6000. 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)題意設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，再結(jié)合平均成本的含義得出函數(shù)y的表達式，最后利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可； （2）先寫出利潤函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的極值，從而得出函數(shù)的最大值，即可解決問題：要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．. 試題解析：解：（1）設(shè)平均成本為元，則， ，令得． 當在附近左側(cè)時； 在附近右側(cè)時，故當時，取極小值，而函數(shù)只有一個點使，故函數(shù)在該點處取得最小值，因此，要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品． 6分； （2）利潤函數(shù)為，， 令，得，當在附近左側(cè)時；在附近右側(cè)時，故當時，取極大值，而函數(shù)只有一個點使，故函數(shù)在該點處取得最大值，因此，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品． 12分； 考點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 21．已知函數(shù)在與時都取得極值 (1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (2)若對，不等式恒成立，求的取值范圍 【答案】(1) 遞增區(qū)間是與,遞減區(qū)間是；(2) . 【解析】 試題分析：（1）求出f′（x），因為函數(shù)在x=- 與x=1時都取得極值，所以得到f′（-）=0且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的增減區(qū)間； （2）根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范圍即可．. 試題解析：解：（1） 1分； 由，得 3分； ，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如下表： 極大值 極小值 所以函數(shù)的遞增區(qū)間是與,遞減區(qū)間是； 6分； （2），當時， 為極大值，而，則為最大值， 9分； 要使恒成立，則只需要， 10分； 得 12分； 考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.函數(shù)恒成立問題；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．. 22．已知函數(shù)R）. （1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值； （2）在（1）條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （3）當，且時，證明： 【答案】(1);(2)詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）欲求a的值，根據(jù)在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可得． （2）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，最后求出極值即可． （3）由（2）知，當a=1時，函數(shù)f(x)＝，在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且f(1)＝＝1，從而證得結(jié)論．. 試題解析：解：（1）函數(shù) 所以又曲線處的切線與直線平行，所以 4分； （2）令 當x變化時，的變化情況如下表： + 0 — 極大值 由表可知：的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是 所以處取得極大值， 8分； （3）當由于 只需證明 令 因為，所以上單調(diào)遞增， 當即成立。 故當時，有 12分； 考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．