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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)題型歸納 請(qǐng)同學(xué)們高度重視： 首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法： 1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法 5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間） 與定義域的關(guān)系 （2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在 其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問(wèn)題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。 最后，同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ) 一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立； 1、此類問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決： 第一步：令得到兩個(gè)根； 第二步：畫(huà)兩圖或列表； 第三步：由圖表可知； 其中不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題， 2、常見(jiàn)處理方法有三種： 第一種：分離變量求最值-----用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0） 第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-----（已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元）； 例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)， （1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍； （2）若對(duì)滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值. 解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”， 則 在區(qū)間[0,3]上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于 解法二：分離變量法： ∵ 當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), 恒成立 等價(jià)于的最大值（）恒成立， 而（）是增函數(shù)，則 (2)∵當(dāng)時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價(jià)于當(dāng)時(shí) 恒成立 解法三：變更主元法 再等價(jià)于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問(wèn)題） -2 2 例2：設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對(duì)任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（Ⅰ） 3a a a 3a 令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a） 令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+） ∴當(dāng)x=a時(shí)，極小值= 當(dāng)x=3a時(shí)，極大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：對(duì)任意的恒成立① 則等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù) 的對(duì)稱軸 （放縮法） 即定義域在對(duì)稱軸的右邊，這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問(wèn)題。 上是增函數(shù). （9分） ∴ 于是，對(duì)任意，不等式①恒成立，等價(jià)于 又∴ 點(diǎn)評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系 第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型 例3；已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的值域； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。 解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 又 ∴的值域是 （Ⅲ）令 思路1：要使恒成立，只需，即分離變量 思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值 二、題型一：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型 解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時(shí)一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集 例4：已知，函數(shù)． （Ⅰ）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值； （Ⅱ）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍． 解：. （Ⅰ）∵ 是偶函數(shù)，∴ . 此時(shí)，， 令，解得：. 列表如下： (－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 可知：的極大值為， 的極小值為. （Ⅱ）∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)， ∴，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法 則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想 （I） 1、 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，單調(diào)遞增。 2、 a-1 -1 單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)減區(qū)間： （II）當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集： 1、時(shí)，單調(diào)遞增 符合題意 2、， 綜上，a的取值范圍是[0，1]。 三、題型二：根的個(gè)數(shù)問(wèn)題 題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點(diǎn)======即方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題 解題步驟 第一步：畫(huà)出兩個(gè)圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”； 第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫(xiě)不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系； 第三步：解不等式（組）即可； 例6、已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)． 求實(shí)數(shù)的取值范圍； 若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）由題意 ∵在區(qū)間上為增函數(shù)， ∴在區(qū)間上恒成立（分離變量法） 即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為 （2）設(shè)， 令得或由（1）知， ①當(dāng)時(shí)，，在R上遞增，顯然不合題意… ②當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表： — ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即 ∴，解得 綜上，所求的取值范圍為 根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。 例7、已知函數(shù) （1）若是的極值點(diǎn)且的圖像過(guò)原點(diǎn)，求的極值； （2）若，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說(shuō)明理由。高1考1資1源2網(wǎng) 解：（1）∵的圖像過(guò)原點(diǎn)，則 ， 又∵是的極值點(diǎn)，則 -1 （2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個(gè)不同交點(diǎn)， 等價(jià)于有含的三個(gè)根，即： 整理得： 即：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根 （計(jì)算難點(diǎn)來(lái)了：）有含的根， 則必可分解為，故用添項(xiàng)配湊法因式分解， 十字相乘法分解： 恒有含的三個(gè)不等實(shí)根 等價(jià)于有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。 題2：切線的條數(shù)問(wèn)題====以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù) 例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍． （1）由題意得： ∴在上；在上；在上 因此在處取得極小值 ∴①，②，③ 由①②③聯(lián)立得：，∴ （2）設(shè)切點(diǎn)Q， 過(guò) 令， 求得：，方程有三個(gè)根。 需： 故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為： 題3：已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù) 解法：根分布或判別式法 例8、 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋á瘢┊?dāng)m＝4時(shí)，f (x)＝ x3－x2＋10x， ＝x2－7x＋10，令 ， 解得或. 令 ， 解得 可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為． （Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6, 1 要使函數(shù)y＝f (x)在（1，＋∞）有兩個(gè)極值點(diǎn),＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布問(wèn)題： 則， 解得m＞3 例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍． 解：（1） 當(dāng)時(shí)，令解得，令解得， 所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. （2）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn) =0有3個(gè)根，則或， 方程有兩個(gè)非零實(shí)根，所以 或 而當(dāng)或時(shí)可證函數(shù)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn) 其它例題： 1、（最值問(wèn)題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（Ⅰ） 令=0,得 因?yàn)?，所以可得下表? 0 + 0 - ↗ 極大 ↘ 因此必為最大值,∴因此， ， 即，∴，∴ （Ⅱ）∵，∴等價(jià)于， 令，則問(wèn)題就是在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍， 為此只需，即， 解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是[0，1]. 2、（根分布與線性規(guī)劃例子） （1）已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行, 求的解析式； (Ⅱ) 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時(shí), 設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程. 解： (Ⅰ). 由, 函數(shù)在時(shí)有極值 , ∴ ∵ ∴ 又∵ 在處的切線與直線平行, ∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時(shí)DE為△ABC的中位線, ∴ 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為: 由 得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故這時(shí)直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時(shí)DE為△ABC的中位線, ∴所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點(diǎn)為: ∵ , , ∴ 所求直線方程為: 或 3、（根的個(gè)數(shù)問(wèn)題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式； （Ⅲ）若方程有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：由題知： （Ⅰ）由圖可知 函數(shù)f ( x )的圖像過(guò)點(diǎn)( 0 , 3 )，且= 0 得 （Ⅱ）依題意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 所以 當(dāng)＜a＜3時(shí)，方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不同的根?！?12分 4、（根的個(gè)數(shù)問(wèn)題）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 解：（1） ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分 （2）由題得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 當(dāng)即時(shí) － 此時(shí)，，，有一個(gè)交點(diǎn)；…………………………9分 當(dāng)即時(shí)， ＋ — , ∴當(dāng)即時(shí),有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)即時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)； 　 當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)交點(diǎn)．………………………13分 綜上可知，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．…………………………………14分