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2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 空間向量檢測題 一、知識梳理 【高考考情解讀】　高考對本節(jié)知識的考查以解答題的形式為主：1.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的證明、空間角(主要是線面角和二面角)的計算.2.以已知結(jié)論尋求成立的條件(或是否存在問題)的探索性問題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能力，是近幾年高考命題的新亮點，屬中高檔問題． 1． 直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法 設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)(以下相同)． (1)線面平行：l∥α?a⊥μ?aμ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)線面垂直：l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v?μv＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 2． 直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)線線夾角：設(shè)l，m的夾角為θ(0≤θ≤)，則cos θ＝＝. (2)線面夾角：設(shè)直線l與平面α的夾角為θ(0≤θ≤)，則sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|. (3)面面夾角：設(shè)平面α、β的夾角為θ(0≤θ<π)，則|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|. 提醒　求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析． 3． 求空間距離 直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，點P到平面α的距離：d＝(其中n為α的法向量，M為α內(nèi)任一點). 二、課前預(yù)習(xí) 1．平面α的法向量為m，向量a、b是平面α之外的兩條不同的直線的方向向量，給出三個論斷：①a⊥m；②a⊥b；③m∥b.以其中的兩個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出所有正確的命題______________________． 2.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90，棱AA1＝2，則cos〈，〉的值為________． 3．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC－A1B1C1， CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為________． 4．如圖，過正方形ABCD的頂點A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA， 則平面ABP和平面CDP所成的銳二面角的大小是________． 三、典型例題 探究點一　利用向量法求異面直線所成的角 例1　已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90，CA＝CB＝CC1，D為B1C1的中點，求異面直線BD和A1C所成角的余弦值． 探究點二　利用向量法求直線與平面所成的角 例2　如圖，已知平面ABCD⊥平面DCEF，M，N分別為AB，DF的中點，求直線MN與平面DCEF所成的角的正弦值． 探究點三　利用向量法求二面角 例3　如圖，ABCD是直角梯形，∠BAD＝90，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝BA＝1，AD＝，求面SCD與面SBA所成角的余弦值大?。? 探究點四　綜合應(yīng)用 例4　如圖所示，在三棱錐A—BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面ABC是正三角形． (1)求證：AD⊥BC； (2)求二面角B－AC－D的余弦值； (3)在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由． 四、課后練習(xí) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中點，則sin〈，〉的值等于________． 2．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是側(cè)棱BB1的中點，則直線AE與平面A1ED1所成的角的大小為________． 3．如圖，在正四面體ABCD中，E、F分別是BC和AD的中點，則AE與CF所成的角的余弦值為________． 4．(2011南通模擬) 如圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知B1C，C1D與上底面A1B1C1D1所成的角分別為60和45，則異面直線B1C和C1D所成的余弦值為________． 5．P是二面角α—AB—β棱上的一點，分別在α、β平面上引射線PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45，∠MPN＝60，那么二面角α—AB—β的大小為________． 6．(2011無錫模擬)已知正四棱錐P—ABCD的棱長都相等，側(cè)棱PB、PD的中點分別為M、N，則截面AMN與底面ABCD所成的二面角的余弦值是________． 7．如圖，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90且PA＝AC＝BC＝a，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于________． 8．如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成的角的正弦值為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分) 如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE∥AD. (1)求二面角B－AD－F的大?。? (2)求直線BD與EF所成的角的余弦值． 10．(14分)(2011大綱全國，19)如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)證明：SD⊥平面SAB； (2)求AB與平面SBC所成角的正弦值． 11．(14分)(2011湖北，18)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱CC1上，且不與點C重合． (1)當(dāng)CF＝1時，求證：EF⊥A1C； (2)設(shè)二面角C－AF－E的大小為θ，求tan θ的最小值．