《2019-2020年高考數學 6.7 數學歸納法練習.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高考數學 6.7 數學歸納法練習.doc（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2019-2020年高考數學 6.7 數學歸納法練習 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(xx鄭州模擬)用數學歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上(　　) A.k2+1 B.(k+1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 【解析】選D.當n=k時,左邊=1+2+3+…+k2, 當n=k+1時,左邊=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以應加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 2.用數學歸納法證明“2n>n2+1對于n≥n0的正整數n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應取(　　) A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】選C.當n=1時,21=2=12+1, 當n=2時,22=4<22+1=5, 當n=3時,23=8<32+1=10, 當n=4時,24=16<42+1=17, 當n=5時,25=32>52+1=26, 當n=6時,26=64>62+1=37,故起始值n0應取5. 3.(xx南昌模擬)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+1)與f(k)的關系是 (　　) A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2 C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2 D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2 【解析】選A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2 =f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故選A. 4.(xx濰坊模擬)某個命題與正整數有關,若當n=k(k∈N*)時該命題成立,那么可推得當n=k+1時該命題也成立,現已知當n=4時該命題不成立,那么可推得 (　　) A.當n=5時,該命題不成立 B.當n=5時,該命題成立 C.當n=3時,該命題成立 D.當n=3時,該命題不成立 【解析】選D.由數學歸納法的特點可以知道,當n=4時該命題不成立,可知當n=3時,該命題不成立. 5.對于不等式1)時,第一步應驗證的不等式是　　　　　. 【解析】由n∈N*,n>1知,n取第一個值n0=2, 當n=2時,不等式為1++<2. 答案:1++<2 【誤區(qū)警示】此題很容易出現,第一步驗證的不等式是n=2時左邊為1+,缺少了,而導致答案不正確. 7.設Sn=1++++…+,則Sn+1-Sn=　　　　　　　　　　. 【解析】因為Sn+1=1++…+++…+, Sn=1++++…+, 所以Sn+1-Sn=++…+. 答案:+++…+ 8.設數列{an}的前n項和為Sn,且對任意的正整數n都有(Sn-1)2=anSn,通過計算S1,S2,S3,猜想Sn=　　　　　. 【解析】由(S1-1)2=得:S1=; 由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=; 由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=. 猜想Sn=. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知數列{an}中,1-,-<, 所以-0,所以an=. (2)因為an=,所以Sn=1+++…+. ①當n=1時,左邊=1,右邊=2,左<右, 所以n=1時,Sn<2. ②假設n=k(k≥1,k∈N*)時所證不等式成立,即Sk<2, 當n=k+1時,Sk+1=1+++…++<2+ =<= =2. 故n=k+1時,不等式仍成立. 由①②可知,對任意n∈N*,不等式成立. 【一題多解】解答此題還有如下方法: (1)因為a1=1,an>0,(n2+n)(-)=1, 所以a2=,a3=,a4==,…,猜想an=, 下面用數學歸納法證明, ①當n=1時,因為a1=1,所以n=1時,an=. ②假設n=k(k≥1,k∈N*)時所證成立,即ak=, 當n=k+1時,因為(k2+k)(-)=1, 所以=-=-=. 所以ak+1=. 故當n=k+1時,an=仍成立, 由①②可知,對任意n∈N*,an=成立. (2)因為=<=2(-), 所以Sn=1+++…+ <2(-0+-+-+…+-) =2. 【加固訓練】由下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,…,你能得到一個怎樣的一般不等式?并加以證明. 【解析】一般結論:1+++…+>(n∈N*),證明如下: (1)當n=1時,由題設條件知命題成立. (2)假設當n=k(k∈N*)時,猜想正確, 即1+++…+>. 當n=k+1時,1+++…+++…+ >+++…+ >+++…+ =+=, 所以當n=k+1時,不等式成立. 根據(1)(2)可知,對n∈N*,1+++…+>. (20分鐘　40分) 1.(5分)(xx天津模擬)設f(x)是定義在正整數集上的函數,且f(x)滿足:“當f(k)≥k2成立時,總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命題總成立的是 (　　) A.若f(1)<1成立,則f(10)<100成立 B.若f(2)<4成立,則f(1)≥1成立 C.若f(3)≥9成立,則當k≥1時,均有f(k)≥k2成立 D.若f(4)≥16成立,則當k≥4時,均有f(k)≥k2成立 【解析】選D.選項A,B與題設中不等號方向不同,故A,B錯;選項C中,應該是k≥3時,均有f(k)≥k2成立;選項D符合題意. 2.(5分)用數學歸納法證明“當n為正奇數時,xn+yn能被x+y整除”的第二步是 (　　) A.假使n=2k+1時正確,再推n=2k+3時正確(k∈N*) B.假使n=2k-1時正確,再推n=2k+1時正確(k∈N*) C.假使n=k時正確,再推n=k+1時正確(k∈N*) D.假使n≤k(k≥1)時正確,再推n=k+2時正確(k∈N*) 【解析】選B.因為n為正奇數, 根據數學歸納法證題的步驟, 第二步應先假設第k個正奇數也成立, 本題即假設n=2k-1(k∈N*)時正確,再推第k+1個正奇數,即n=2k+1時正確, 故選B. 3.(5分)平面上有n條直線,它們任何兩條不平行,任何三條不共點,設k條這樣的直線把平面分成f(k)個區(qū)域,則k+1條直線把平面分成的區(qū)域數f(k+1)=f(k)+　　　　　. 【解析】當n=k+1時,第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個區(qū)域. 答案:k+1 4.(12分)(xx漢沽模擬)如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(00,數列{bn}滿足bn=(n=1,2,3,4,…) (1)求b1,b2,b3,b4. (2)求數列{bn}的通項公式. (3)是否存在正數k,使得數列{an}的每一項均為整數,如果不存在,說明理由,如果存在,求出所有的k. 【解析】(1)經過計算可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+. 求得b1=b3=2,b2=b4=. (2)由條件可知:an+1an-2=k+anan-1.　① 類似地有:an+2an-1=k+an+1an?、? ①-②有:=, 即:bn=bn-2. 所以b2n-1=b2n-3=…=b1==2, b2n=b2n-2=…=b2==, 所以bn=+. (3)假設存在正數k,使得數列{an}的每一項均為整數, 則由(2)可知:　③ 由a1=k∈Z,a6=k+4+∈Z可知k=1,2. 當k=1時,=3為整數,利用a1,a2,a3∈Z, 結合③式,反復遞推,可知{an}的每一項均為整數, 當k=2時,③變?yōu)椤、? 我們用數學歸納法證明a2n-1為偶數,a2n為整數, n=1時,結論顯然成立,假設n=k時結論成立,這時a2n-1為偶數,a2n為整數, 故a2n+1=2a2n-a2n-1為偶數,a2n-2為整數,所以n=k+1時,命題成立, 故數列{an}是整數列, 綜上所述,k的取值集合是{1,2}. 【加固訓練】設數列{an}的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1(n∈N*). (1)求a1,a2. (2)猜想數列{Sn}的通項公式,并給出證明. 【解析】(1)當n=1時,方程x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1, 所以(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 解得a1=.當n=2時,方程x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a1+a2-1=a2-, 所以-a2-a2=0,解得a2=. (2)由題意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得 SnSn-1-2Sn+1=0, 解得Sn=. 由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=. 猜想Sn=(n∈N*). 下面用數學歸納法證明這個結論. ①當n=1時,結論成立. ②假設當n=k(k∈N*,k≥1)時結論成立,即Sk=, 當n=k+1時,Sk+1===. 即當n=k+1時結論成立. 由①②知Sn=對任意的正整數n都成立.