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2019-2020年高考數學專題復習 第11講 函數與方程練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查具體函數的零點個數和零點的取值范圍.2.利用函數零點求解參數的取值范圍.3.考查函數零點、方程的根和兩函數圖象交點橫坐標的等價轉化思想和數形結合思想． 一、函數零點 1．定義：對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點． 2．函數零點與方程根的關系：方程f(x)＝0有實根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點． 3．零點存在性定理：如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. 對函數零點的認知 (1)并不是所有的函數都有零點，如函數f(x)＝. (2)函數的零點不是點，是方程f(x)＝0的根． 二、二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數 2 1 0 二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零點分布情況 根的分布(m＜n＜p為常數) 圖象 滿足的條件 x1＜x2＜m (兩根都小于m) m＜x1＜x2 (兩根都大于m) x1＜m＜x2 (一根大于m，一根小于m) f(m)＜0 x1，x2∈(m，n) (兩根位于m，n之間) m＜x1＜n＜x2＜p (兩根分別位于m與n，n與p之間) 只有一根在m，n之間 或f(m)f(n)＜0 三、二分法 　對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 1．若函數f(x)＝x2＋mx＋1有兩個零點，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－1,1)　　　　　　　 B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】　依題意，Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2. 【答案】　C 2．在下列區(qū)間中，函數f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】　顯然f(x)＝ex＋4x－3的圖象連續(xù)不間斷，又f＝－1＞0，f＝－2＜0. ∴由零點存在定理知，f(x)在內存在零點． 【答案】　C 3．函數f(x)＝x－x的零點的個數為(　　) A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 【解析】　在同一平面直角坐標系內作出y1＝x與y2＝x的圖象如圖所示，易知，兩函數圖象只有一個交點．因此函數f(x)＝x－x只有1個零點． 【答案】　B 4．已知函數f(x)＝x2＋x＋a在區(qū)間(0,1)上有零點，則實數a的取值范圍是________． 【解析】　函數f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上遞增． 由已知條件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0. 【答案】　(－2,0) 5．(xx重慶高考)若a0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內． 【答案】　A 6．(xx天津高考)函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】　令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x. 設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐標系下分別畫出函數g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現兩個函數圖象一定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點． 【答案】　B 考向一 [031]　函數零點的求解與判斷 　(1)(xx天津高考)函數f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 (2)(xx廣州模擬)設函數y＝x3與y＝x－2的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間(端點值為連續(xù)整數的開區(qū)間)是________． 【思路點撥】　(1)先根據零點存在性定理證明有零點，再根據函數的單調性判斷零點的個數． (2)畫出兩個函數的圖象尋找零點所在的區(qū)間． 【嘗試解答】　(1)因為f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函數f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上遞增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1個零點． (2)設f(x)＝x3－x－2，則x0是函數f(x)的零點．在同一坐標系下畫出函數y＝x3與y＝x－2的圖象，如圖所示． ∵f(1)＝1－－1＝－1＜0， f(2)＝8－0＝7＞0 ∴f(1)f(2)＜0， ∴x0∈(1,2)． 【答案】　(1)B　(2)(1,2) 規(guī)律方法1　 確定函數f(x)零點所在區(qū)間的常用方法,(1)解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上； (2)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)＜0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點. (3)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷. 對點訓練　(1)函數f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(　　) A．沒有零點　　　　　　 B．有且僅有一個零點 C．有且僅有兩個零點 D．有無窮多個零點 (2)(xx廈門模擬)函數f(x)＝ln(x－2)－的零點所在的大致區(qū)間是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 【解析】　(1)令f(x)＝－cos x＝0，則＝cos x，設函數y＝和y＝cos x，在同一坐標系下做出它們在[0，＋∞)的圖象，顯然兩函數的圖象的交點有且只有一個，所以函數f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內有且僅有一個零點． (2)由題意知函數f(x)的定義域為{x|x＞2}，∴排除A. ∵f(3)＝－＜0，f(4)＝ln 2－＞0， f(5)＝ln 3－＞0， ∴f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＞0， ∴函數f(x)的零點在(3,4)之間，故選C. 【答案】　(1)B　(2)C 考向二 [032]　函數零點的應用 　已知函數g(x)＝x＋(x＞0)．若g(x)＝m有實數根，求m的取值范圍； 【思路點撥】　可用基本不等式求出最值或數形結合法求解． 【嘗試解答】　法一　∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等號成立的條件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點． 故當g(x)＝m有實數根時，m的取值范圍為[2e，＋∞)． 法二　 作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致圖象如圖： 可知若使g(x)＝m有零點，則只需m≥2e. 故當g(x)＝m有實數根時，m的取值范圍為[2e，＋∞)． 規(guī)律方法2　 已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路,(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍； (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決； (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解. 對點訓練　(1)(xx山東省實驗中學模擬)函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　) A．(1,3)　　　 B．(1,2)　　　 C．(0,3)　　　 D．(0,2) (2)(xx撫順模擬)已知函數f(x)＝(a∈R)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．[－1,0) D．(0,1] 【解析】　(1)由題意可知f(1)f(2)＜0，即a(a－3)＜0，所以0＜a＜3. (2)∵當x＞0時，f(x)＝2x－1，由f(x)＝0得x＝. ∴要使f(x)在R上有兩個零點，則必須2x－a＝0在(－∞，0]上有解． 又當x∈(－∞，0]時，2x∈(0,1]． 故所求a的取值范圍是(0,1]． 【答案】　(1)C　(2)D 思想方法之七　解決方程根問題的一大“利器”——數形結合 利用函數處理方程解的問題，方法如下： (1)方程f(x)＝a在區(qū)間I上有解?a∈{y|y＝f(x)，x∈I}，?y＝f(x)與y＝a的圖象在區(qū)間I上有交點． (2)方程f(x)＝a在區(qū)間I上有幾個解?y＝f(x)與y＝a的圖象在區(qū)間I上有幾個交點． 一般地，在探究方程解的個數或已知解的個數求參數的范圍時，常采用轉化與化歸的思想將問題轉化為兩函數圖象的交點個數問題，從而可利用數形結合的方法給予直觀解答． ———　[1個示范例]　————　[1個對點練]　——— 　　　(xx錦州模擬)偶函數f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]時，f(x)＝x，則關于x的方程f(x)＝x在x∈[0,4]上解的個數是(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】　根據f(x－1)＝f(x＋1)可得函數f(x)的周期為2，根據函數f(x)是偶函數以及f(x－1)＝f(x＋1)可得f(1－x)＝f(1＋x)，所以這個函數的圖象關于直線x＝1對稱．根據函數f(x)在[0,1]上的解析式可以畫出函數f(x)在[0,4]上的圖象，結合圖象可得函數f(x)＝x在[0,4]上有4個解． (xx濟南模擬)已知函數f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍為(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1) 【解析】　畫出函數f(x)的圖象如圖所示， 觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數根，則函數y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個不同的交點，此時需滿足0＜a＜1，故選D. 【答案】　D