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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第30講 等比數(shù)列練習 新人教A版 [考情展望]　1.運用基本量法求解等比數(shù)列問題.2.以等比數(shù)列的定義及等比中項為背景，考查等比數(shù)列的判定.3.客觀題以等比數(shù)列的性質(zhì)及基本量的運算為主，突出“小而巧”的特點，解答題注重函數(shù)與方程、分類討論等思想的綜合應用． 一、等比數(shù)列 證明{an}是等比數(shù)列的兩種常用方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)且n≥2且n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)中項公式法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 二、等比數(shù)列的性質(zhì) 1．對任意的正整數(shù)m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，則aman＝apaq＝a. 2．通項公式的推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*) 3．公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn；當公比為－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列． 4．若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{anbn}，(λ≠0)仍是等比數(shù)列． 等比數(shù)列的單調(diào)性 單調(diào)遞增 a1＞0，q＞1或者a1＜0,0＜q＜1 單調(diào)遞減 a1＞0,0＜q＜1或者a1＜0，q＞1 常數(shù)數(shù)列 a1≠0，q＝1 擺動數(shù)列 q＜0 1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于(　　) A．－　　　 B．－2　　　 C．2　　　 D. 【解析】　由題意知：q3＝＝，∴q＝. 【答案】　D 2．設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則＝(　　) A．－11 B．－8 C．5 D．11 【解析】　8a2＋a5＝0，得8a2＝－a2q3，又a2≠0，∴q＝－2，則S5＝11a1，S2＝－a1，∴＝－11. 【答案】　A 3．公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a10＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】　由題意a＝a3a11＝16，且a7＞0，∴a7＝4， ∴a10＝a7q3＝423＝25，從而log2a10＝5. 【答案】　B 4．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________. 【解析】　∵S3＝21，q＝4，∴＝21，∴a1＝1， ∴an＝4n－1. 【答案】　4n－1 5．(xx大綱全國卷)已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 【解析】　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故數(shù)列{an}是公比q＝－的等比數(shù)列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10). 【答案】　C 6．(xx江西高考)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 【解析】　由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24. 【答案】　A 考向一 [090]　等比數(shù)列的基本運算 　(1)(xx北京高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝______；前n項和Sn＝________. (2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． ①求{an}的公比q；②若a1－a3＝3，求Sn. 【思路點撥】　建立關(guān)于a1與公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比數(shù)列的通項公式與求和公式． 【嘗試解答】　(1)設出等比數(shù)列的公比，利用已知條件建立關(guān)于公比的方程求出公比，再利用前n項和公式求Sn. 設等比數(shù)例{an}的首項為a1，公比為q，則： 由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.① 由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.② 由①②解得q＝2，a1＝2. 故Sn＝＝＝2n＋1－2. 【答案】　2,2n＋1－2 (2)①∵S1，S3，S2成等差數(shù)列， ∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，從而q＝－. ②由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4， 從而Sn＝＝. 規(guī)律方法1　1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應用. 2.在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應根據(jù)公比q的情況進行分類討論，此外在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算. 對點訓練　(1)(xx遼寧高考)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. (2)(xx晉州模擬)已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列． ①求數(shù)列{an}的通項公式； ②求數(shù)列{3an}的前n項和． 【解析】　(1)設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q， ∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1. ∴ 由①得a1＝q；由②知q＝2或q＝， 又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝q＝2，從而an＝2n. 【答案】　2n (2)①設數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由題意得 a＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)． 又a1＝2，所以d＝2或d＝0(舍去)． ∴an＝2n. ②由①可知3an＝32n＝9n. 故數(shù)列{3an}的前n項和為＝(9n－1) 考向二 [091]　等比數(shù)列的判定與證明 　(xx荊州模擬)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列． 【思路點撥】　正確設出等差數(shù)列的三個正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d，從而求出數(shù)列{bn}的首項、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問． 【嘗試解答】　(1)設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a－d，a，a＋d. 依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d,10,18＋d. 依題意，(7－d)(18＋d)＝100， 解之得d＝2或d＝－13(舍去)， ∴b3＝5，公比q＝2，因此b1＝. 故bn＝2n－1＝52n－3. (2)證明　由(1)知b1＝，公比q＝2， ∴Sn＝＝52n－2－， 則Sn＋＝52n－2， 因此S1＋＝，＝＝2(n≥2)． ∴數(shù)列{Sn＋}是以為首項，公比為2的等比數(shù)列． 規(guī)律方法2　1.本題求解常見的錯誤：(1)計算失誤，不注意對方程的根(公差d)的符號進行判斷；(2)不能靈活運用數(shù)列的性質(zhì)簡化運算. 2.要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等比即可. 對點訓練　(1)在正項數(shù)列{an}中，a1＝2，點(，)(n≥2)在直線x－y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________. (2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式． 【解析】　(1)由題意知－＝0， ∴an＝2an－1(n≥2)， ∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． ∴Sn＝＝＝2n＋1－2. 【答案】　2n＋1－2 (2)證明　∵an＋Sn＝n，∴a1＋S1＝1，得a1＝， ∴c1＝a1－1＝－. 又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，an＋Sn＝n， ∴2an＋1－an＝1，即2(an＋1－1)＝an－1. 又∵a1－1＝－，∴＝，即＝， ∴數(shù)列{cn}是以－為首項，以為公比的等比數(shù)列． 則cn＝－n－1＝－n， ∴{an}的通項公式an＝cn＋1＝1－n. 考向三 [092]　等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 　(1)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于(　　) A．1∶2　　 B．2∶3　　 C．3∶4　　 D．1∶3 (2)(xx衡水模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，則＋＋＋＝________. 【思路點撥】　(1)借助S3，S6－S3，S9－S6成等比求解． (2)應用等比數(shù)列的性質(zhì)a7a10＝a8a9求解． 【嘗試解答】　(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3、S6－S3、S9－S6仍成等比數(shù)列，于是(S6－S3)2＝S3(S9－S6)， 將S6＝S3代入得＝. (2)法一　a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝a7a10＝－， ∴＋＋＋ ＝ ＝ ＝＝＝－. 法二　由題意可知 ①②得＝－， 即＋＋＋＝－， ∴＋＋＋＝－， 所以＋＋＋＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 規(guī)律方法3　在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要充分挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq”，可以減少運算量，提高解題速度. 對點訓練　(1)(xx課標全國卷)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7　　　　 B．5　　　　 C．－5　　　　 D．－7 (2)(xx大連模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1,2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 【解析】　(1)由于a5a6＝a4a7＝－8，a4＋a7＝2， ∴a4，a7是方程x2－2x－8＝0的兩根， 解之得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4. ∴q3＝－或q3＝－2. 當q3＝－時，a1＋a10＝＋a7q3＝4(－2)＋(－2)(－)＝－7， 當q3＝－2時，a1＋a10＝＋a7q3＝＋4(－2)＝－7. (2)∵a5a2n－5＝a＝22n，且an＞0， ∴an＝2n， ∵a2n－1＝22n－1， ∴l(xiāng)og2a2n－1＝2n－1， ∴l(xiāng)og2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝＝n2. 【答案】　(1)D　(2)C 　 思想方法之十三　分類討論思想在等比數(shù)列求和中的應用 分類討論的實質(zhì)是將整體化為部分來解決．其求解原則是不復重，不遺漏，討論的方法是逐類進行． 在數(shù)列的學習中，也有多處知識涉及到分類討論思想 ，具體如下所示： (1)前n項和Sn與其通項an的關(guān)系：an＝ (2)等比數(shù)列的公比q是否為1； (3)在利用公式Sn求和時，數(shù)列的項的個數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)等等． 求解以上問題的關(guān)鍵是找準討論的切入點，分類求解． ———　[1個示范例]　————　[1個對點練]　———— 　(xx天津高考)已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值． 【解】　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5， 即4a5＝a3，于是q2＝＝. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－. 故等比數(shù)列{an}的通項公式為 an＝n－1＝(－1)n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n＝ 當n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1＝，故0＜Sn－≤S1－＝－＝. 當n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以＝S2≤Sn＜1，故0＞Sn－≥S2－＝－＝－. 所以數(shù)列{Tn}最大項的值為，最小項的值為－. (xx青島模擬)已知數(shù)列{dn}滿足dn＝n，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*. (1)求an； (2)令cn＝1－(－1)nan，不等式ck≥xx(1≤k≤100，k∈N*)的解集為M，求所有dk＋ak(k∈M)的和． 【解】　(1)設{an}的首項為a1，公比為q，所以(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝q， 又因為2(an＋an＋2)＝5an＋1，所以2(an＋anq2)＝5anq， 則2(1＋q2)＝5q,2q2－5q＋2＝0，解得q＝(舍)或q＝2，所以an＝22n－1＝2n. (2)cn＝1－(－1)nan＝1－(－2)n，dn＝n， 當n為偶數(shù)，cn＝1－2n≥2 014，即2n≤－2 013，不成立； 當n為奇數(shù)，cn＝1＋2n≥2 014，即2n≥2 013， 因為210＝1 024,211＝2 048，所以n＝2m＋1,5≤m≤49， 則{dk}組成首項為11，公差為2的等差數(shù)列， {ak}(k∈M)組成首項為211，公比為4的等比數(shù)列， 則所有dk＋ak(k∈M)的和為 ＋＝2 475＋＝.