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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第六章 第36課 平面向量的數(shù)量積要點導學 平面向量數(shù)量積的運算 　(1) 已知|a|=4,|b|=5,且a與b的夾角為60,求(2a+3b)(3a-2b)的值. (2) 已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為60,c=3a+5b,d=ma-3b. ①當m為何值時,c∥d? ②當m為何值時,c⊥d? [思維引導]根據(jù)數(shù)量積的運算律來進行計算. [解答](1) (2a+3b)(3a-2b)=6a2-4ab+9ab-6b2=6a2+5ab-6b2=642+545cos60-652=96+50-150=-4. (2) ①因為c∥d,所以c=λd,所以3a+5b=λ(ma-3b),所以3a+5b=λma-3λb, 所以解得 ②因為c⊥d,所以cd=0,所以(3a+5b)(ma-3b)=0, 所以3ma2-9ab+5mab-15b2=0, 所以3m9-932cos60+5m32cos60-1522=0,所以m=. [精要點評]數(shù)量積的運算律自身的特點要弄清,模和夾角是數(shù)量積計算中必須關(guān)注的兩個關(guān)鍵因素. 　(xx蘇北四市期末)在平面四邊形ABCD中,已知AB=3,DC=2,點E,F分別在邊AD,BC上,且=3,=3.若向量與的夾角為60,則的值為　　　　. [思維引導]由題意可知與為目標向量,求的值的關(guān)鍵是將用與線性表示. [答案]7 [解析]由題意得=++,且=++, 將以上兩式相加,得2=+++ =(++)+++, =+, 于是=+, 從而==+=9+32cos60=7. 利用向量的數(shù)量積求模和夾角 　已知向量x=a-b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,a⊥b,求x與y的夾角的余弦值. [思維引導]根據(jù)數(shù)量積的定義式的等價變形cos θ=,可求得兩個向量的夾角. [解答]因為|x|2=x2=a2-2ab+b2=1-0+1=2,|y|2=y2=4a2+4ab+b2=5,xy=2a2-ab-b2=1, 所以cos θ===. 　(xx南京、鹽城二模)已知||=1,||=2,∠AOB=,=+,那么與的夾角大小為　　　　. [答案]60 [解析]由題意得=||||cos∠AOB=-1,==+=1+(-1)=,||==,故cos∠AOC==,則∠AOC=60. 向量數(shù)量積的綜合應用 　如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上.若=,則=　　　　. (例3) [思維引導]利用=+,=+,=+進行運算與求值. [答案] [解析]由題意得=+,所以=(+)=+==cos 0==,從而得到=1,=-1.又=+,=+,所以=(+)(+)=+=-(-1)+12=. 【題組強化重點突破】 1. (xx淮安、宿遷摸底)已知非零向量a,b滿足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,那么向量a與b的夾角為　　　　. [答案] [解析]設向量a與b的夾角為θ,由(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,得|a|2-2ab=0,|b|2-2ab=0,即|a|=|b|,所以cos θ==,又θ∈[0,π],故θ=. 2. (xx南京、鹽城一模)在△ABC中,BC=2,A=,則的最小值為　　　　. [答案]- [解析]設AB=x,AC=y,由余弦定理得22=x2+y2-2xycos,即4=x2+y2+xy≥2xy+xy,故xy≤,當且僅當x=y時取等號,=||||cosA=-xy≥-=-,即的最小值為-. 3. (xx蘇中三市、宿遷一調(diào))在△ABC中,D是BC的中點,AD=8,BC=20,則的值為　　　　. [答案]-36 [解析]方法一:因為=+,=+,所以=(+)(+)==-=64-100=-36. 方法二:以BC為x軸,點D為原點建立平面直角坐標系,則B(-10,0),C(10,0),A(8cosθ,8sinθ),所以=(-10-8cosθ,-8sinθ)(10-8 cosθ,-8sinθ)=64 cos2θ-100+64 sin2θ=64-100=-36. 方法三:以BC為x軸,點D為原點建立平面直角坐標系,則B(-10,0),C(10,0),A(xA,yA).由AD=8,則+=64.又=(-10-xA,-yA)(10-xA,-yA)=-100+=64-100=-36. 4. (xx南通期末)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|a+b|≤2ab,則cos(α-β)的值是　　　　. [答案]1 [解析]由題意得≤2cos(α-β),且cos(α-β)≥0,所以2+2cos(α-β)≤4cos2(α-β),所以[cos(α-β)-1][2cos(α-β)+1]≥0,所以cos(α-β)≥1,所以cos(α-β)=1. 在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的動點,滿足=λ(λ∈R). (1) 求|2+|的值; (2) 求cos∠BAC; (3) 若⊥,求實數(shù)λ的值. [規(guī)范答題] (1) 因為=(-1,1),=(1,5), 所以2+=(-1,7).(2分) 所以|2+|==5.(4分) (2) cos∠BAC= ==.(9分) (3) =-=λ(1,5)-(-1,1)=(λ+1,5λ-1).(11分) 因為⊥,所以=0,(13分) 即(λ+1)1+(5λ-1)(-1)=0,解得λ=.(14分) 1. (xx江西卷)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cosα=,向量a=3e1-2e2,b=3e1-e2,a與b的夾角為β,那么cosβ=　　　　. [答案] [解析]cosβ== = ===. 2. (xx全國卷)設向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則ab=　　　　. [答案]1 [解析]由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,兩式相減,得4ab=4,所以ab=1. 3. 已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,那么t=　　　　. [答案]2 4. 已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,那么|b|=　　　　. [答案]5 [解析](a+b)2=50=a2+2ab+b2,解得|b|=5. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第71-72頁).