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2019-2020年高考數(shù)學專題復(fù)習 第37講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系練習 新人教A版 [考情展望]　1.本節(jié)以考查點、線、面的位置關(guān)系為主，同時考查邏輯推理能力與空間想象能力.2.以棱柱、棱錐為依托考查異面直線所成角.3.考查應(yīng)用公理、定理證明點共線、線共點、線共面的問題． 一、平面的基本性質(zhì) 名稱 圖示 文字表示 符號表示 公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α 公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，且P∈β?α∩β＝l且p∈l 三個公理的應(yīng)用 1．公理1的作用：(1)檢驗平面；(2)判斷直線在平面內(nèi)；(3)由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)． 2．公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法． 3．公理3的作用：(1)判定兩平面相交；(2)作兩平面相交的交線；(3)證明多點共線． 二、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 直線與直線 直線與平面 平面與平面 平行關(guān)系 圖形 語言 符號 語言 a∥b a∥α α∥β 相交關(guān)系 圖形 語言 符號 語言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 獨有關(guān)系 圖形 語言 符號 語言 a，b是異面直線 a?α 三、空間直線的位置關(guān)系 1．位置關(guān)系的分類 2．平行公理 平行于同一條直線的兩條直線互相平行． 3．等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補． 4．異面直線所成的角(或夾角) (1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角． (2)范圍：. 1．下列命題正確的個數(shù)為(　　) ①梯形可以確定一個平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【解析】?、谥袃芍本€可以平行、相交或異面，④中若三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，①③正確． 【答案】　C 2．已知a、b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 【解析】　若c∥b，∵c∥a，∴a∥b，與a，b異面矛盾． ∴c，b不可能是平行直線． 【答案】　C 3．若直線l不平行于平面α，且l?α，則(　　) A．α內(nèi)的所有直線與l異面 B．α內(nèi)不存在與l平行的直線 C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D．α內(nèi)的直線與l都相交 【解析】　由題意知，直線l與平面α相交，則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系，因而只有選項B是正確的． 【答案】　B 4．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面 【解析】　當l1⊥l2，l2⊥l3時，l1也可能與l3相交或異面，故A不正確； l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正確； 當l1∥l2∥l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確； l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故D不正確，選B. 【答案】　B 5．(xx課標全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l 【解析】　根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示． 由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D. 【答案】　D 圖7－3－1 6．(xx四川高考)如圖7－3－1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________． 【解析】　如圖，取CN的中點K，連接MK，則MK為△CDN的中位線，所以MK∥DN. 所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角．連接A1C1，AM.設(shè)正方體棱長為4，則A1K＝＝， MK＝DN＝＝，A1M＝＝6， ∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90. 【答案】　90 考向一 [121]　平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 　如圖7－3－2，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 圖7－3－2 (1)求證：E、F、G、H四點共面； (2)設(shè)EG與FH交于點P. 求證：P、A、C三點共線． 【思路點撥】　利用題目中的中點及比例關(guān)系推出平行，利用兩平行線確定一個平面證明四點共面；證明三點共線就是證明三點同時在兩個平面內(nèi)． 【嘗試解答】　(1)∵E、F分別為AB、AD的中點， ∴EF∥BD. 在△BCD中，＝＝， ∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴E、F、G、H四點共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC， ∴P∈共面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P為平面ABC與平面ADC的公共點． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P、A、C三點共線． 規(guī)律方法1　證明點、線共面的常用方法 (1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)． (2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合． (3)反證法：可以假設(shè)這些點和直線不在同一個平面內(nèi)，然后通過推理，找出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定結(jié)論. 對點訓(xùn)練　如圖7－3－3，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，求證： 圖7－3－3 (1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點． 【證明】　(1)如圖，連結(jié)CD1，EF，A1B， ∵E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點， ∴EF∥A1B且EF＝A1B. 又∵A1D1綊BC， ∴四邊形A1BCD1是平行四邊形． ∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF與CD1確定一個平面，設(shè)為平面α. ∴E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面． (2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝CD1， ∴四邊形CD1FE是梯形． ∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示， 則P∈CE?平面ABCD， 且P∈D1F?平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1. 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點． 考向二 [122]　空間兩條直線的位置關(guān)系 圖7－3－4 　(1)如圖7－3－4，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是(　　) A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直 C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行 (2)在圖7－3－5中，G、N、M、H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號) 圖7－3－5 【思路點撥】　(1)連接B1C，則點M是B1C的中點，根據(jù)三角形的中位線，證明MN∥B1D1. (2)先判斷直線GH、MN是否共面，若不共面再利用異面直線的判定定理判定． 【嘗試解答】　(1)連接B1C，B1D1，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1， ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1， ∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1與B1D1相交， ∴MN與A1B1不平行，故選D. (2)圖①中，直線GH∥MN； 圖②中，G、H、N三點共面，但M?面GHN， 因此直線GH與MN異面； 圖③中，連接MG，GM∥HN， 因此GH與MN共面； 圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN， 因此GH與MN異面． 所以圖②、④中GH與MN異面． 【答案】　(1)D　(2)②④ 規(guī)律方法2　1.判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點B的直線是異面直線. (2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面. 2.對于線線垂直，往往利用線面垂直的定義，由線面垂直得到線線垂直. 3.畫出圖形進行判斷，可化抽象為直觀. 對點訓(xùn)練　 圖7－3－6 如圖7－3－6所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線MN與AC所成的角為60. 其中正確的結(jié)論為________(注：把你認為正確的結(jié)論序號都填上)． 【解析】　由圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60. 【答案】?、邰? 考向三 [123]　異面直線所成的角 圖7－3－7 　(xx上海高考改編題)如圖7－3－7，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱錐P—ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． 【思路點撥】　(1)直接根據(jù)錐體的體積公式求解． (2)取PB的中點，利用三角形的中位線平移BC得到異面直線所成的角．(或其補角) 【嘗試解答】　(1)S△ABC＝22＝2， 三棱錐PABC的體積為 V＝S△ABCPA＝22＝. (2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. 規(guī)律方法3　1.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移. 2.求異面直線所成的角的三步曲為：即“一作、二證、三求”.其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進而求解. 3.異面直線所成的角范圍是 對點訓(xùn)練　直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　) A．30　　　　B．45　　　　C．60　　　　D．90 【解析】　分別取AB、AA1、A1C1的中點D、E、F，則BA1∥DE，AC1∥EF. 所以異面直線BA1與AC1所成的角為∠DEF(或其補角)， 設(shè)AB＝AC＝AA1＝2， 則DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得∠DEF＝120. 【答案】　C 思想方法之十八　構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系 由于長方體或正方體中包含了線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直及面面垂直等各種位置關(guān)系，故構(gòu)造長方體或正方體來判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系，顯得直觀、易判斷．減少了抽象性與空間想象，構(gòu)造時注意其靈活性． ————　[1個示范例]　————　[1個對點練]　———— 　　　已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n. 其中所有正確的命題是(　　) A．①④　　　B．②④　　　C．①　　　D．④ 【解析】　借助于長方體模型來解決本題．對于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示；對于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示；對于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因為n∥β，所以過n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為m⊥g，所以m⊥n. (xx汕頭市金山中學摸底考試)已知a，b為異面直線，a⊥平面α，b⊥平面β.直線l滿足l⊥a，l⊥b，l?α，l?β，則(　　) A．α與β相交，且交線平行于l B．α∥β，且l∥α C．α與β相交，且交線垂直于l D．α⊥β，且l⊥β 【解析】　構(gòu)造長方體，如圖所示， 可知α與β相交，且交線平行于l. 【答案】　A