廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學一輪復習 數(shù)學歸納法總復習課件 理 新人教A版.ppt
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數(shù)學歸納法要點梳理1.歸納法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫歸納法.根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為歸納法和歸納法.,一般結論,完全,,不完,全,基礎知識自主學習,2.數(shù)學歸納法(1)數(shù)學歸納法：設{Pn}是一個與正整數(shù)相關的命題集合，如果①證明起始命題P1（或P0)成立；②在假設Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立.(2)數(shù)學歸納法證題的步驟①(歸納奠基)證明當n取第一個值時,命題成立.②(歸納遞推）假設(k≥n0,k∈N+)時命題成立，證明當時命題也成立.只要完成這兩個步驟就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基礎自測1.用數(shù)學歸納法證明：“1+a+a2+…+an+1(a≠1)”在驗證n=1時，左端計算所得的項為()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3,C,2.在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為條時，第一步檢驗第一個值n0等于()A.1B.2C.3D.0解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形.,C,3.如果命題p(n)對n=k成立，則它對n=k+2也成立.若p(n)對n=2成立，則下列結論正確的是()A.p(n)對所有正整數(shù)n都成立B.p(n)對所有正偶數(shù)n都成立C.p(n)對所有正奇數(shù)n都成立D.p(n)對所有自然數(shù)n都成立解析歸納奠基是：n=2成立.歸納遞推是：n=k成立，則對n=k+2成立.∴p（n）對所有正偶數(shù)n都成立.,B,4.某個命題與自然數(shù)n有關，若n=k(k∈N+)時命題成立，那么可推得當n=k+1時該命題也成立，現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么可以推得()A.n=6時該命題不成立B.n=6時該命題成立C.n=4時該命題不成立D.n=4時該命題成立解析方法一由n=k(k∈N+)成立,可推得當n=k+1時該命題也成立.因而若n=4成立，必有n=5成立.現(xiàn)知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二其逆否命題“若當n=k+1時該命題不成立，則當n=k時也不成立”為真，故“n=5時不成立”“n=4時不成立”.,C,5.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上()A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2解析∵當n=k時，左邊=1+2+3+…+k2，當n=k+1時，左邊=1+2+3+…+k2+（k2+1）+…+（k+1）2，∴當n=k+1時，左端應在n=k的基礎上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2.,C,題型一用數(shù)學歸納法證明等式用數(shù)學歸納法證明:對任意的n∈N+,用數(shù)學歸納法證明的步驟為：①歸納奠基：驗證當n=1時結論成立；②歸納遞推：假設當n=k（k∈N+）時成立，推出當n=k+1時結論也成立.,題型分類深度剖析,證明所以等式成立.(2)假設當n=k(k∈N+)時等式成立,即有,所以當n=k+1時,等式也成立.由（1）（2）可知,對一切n∈N+等式都成立.用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式時，關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n=k到n=k+1時等式的兩邊變化的項，然后正確寫出歸納證明的步驟，使問題得以證明.,知能遷移1用數(shù)學歸納法證明：證明（1）當n=1時，等式左邊等式右邊所以等式成立.（2）假設n=k（k∈N+）時等式成立，那么當n=k+1時，,即n=k+1時等式成立.由（1）（2）可知，對任意n∈N+等式均成立.,題型二用數(shù)學歸納法證明整除問題用數(shù)學歸納法證明an+1+(a+1)2n-1(n∈N+）能被a2+a+1整除.解（1）當n=1時，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假設n=k(k∈N+)時，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，,驗證n=1時命題是否成立,假設n=k時命題成立,推證n=k+1時命題成立,,得結論,,,則當n=k+1時，ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假設可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，∴ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1時命題也成立，∴對任意n∈N+原命題成立.證明整除問題的關鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出n=k時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證.,知能遷移2求證：（3n+1）7n-1(n∈N+)能被9整除.證明(1)當n=1時,(3n+1)7n-1=27能被9整除.(2)假設n=k(k∈N+)時命題成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，那么n=k+1時：［3(k+1)+1］7k+1-1=［(3k+1)+3］(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=［(3k+1)7k-1］+3k67k+(6+21)7k.以上三項均能被9整除.則由（1）（2）可知，命題對任意n∈N+都成立.,題型三用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立.應注意到題目條件，第一步應驗證n=2時不等式成立.證明（1）當n=2時，左邊∵左邊>右邊，∴不等式成立.（2）假設n=k(k≥2,且k∈N+)時不等式成立，,則當n=k+1時，∴當n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.,在由n=k到n=k+1的推證過程中，應用放縮技巧，使問題得以簡化.用數(shù)學歸納法證明不等式問題時，從n=k到n=k+1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.,知能遷移3已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足:00,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在［0，1］上連續(xù)，從而f(0)
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