《廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 理 新人教A版選修4-5.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課件 理 新人教A版選修4-5.ppt（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,在數(shù)學(xué)研究中，人們會遇到這樣的情況，對于任意正整數(shù)n或不小于某個數(shù)n0的任意正整數(shù)n，都有某種關(guān)系成立。,對這類問題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法------數(shù)學(xué)歸納法,與正整數(shù)有關(guān)的命題,例如：14+27+310+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+)n21+nx(x>-1,n∈N+).,n=5,a5=25,問題情境一,問題1:大球中有5個小球，如何驗證它們都是綠色的？,完全歸納法,不完全歸納法,模擬演示,問題2：若an=(n2-5n+5)2，則an=1。對嗎？,當(dāng)n=1,a1=;n=2,a2=;n=3,a3=;n=4,a4=;,（－1）nn,問題情境二：數(shù)學(xué)家費馬運用不完全歸納法得出費馬猜想的事例,猜想：都是質(zhì)數(shù),法國的數(shù)學(xué)家費馬（PierredeFermat）(1601年～1665年)。十七世紀最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，,歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。,（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）,（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）,（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結(jié)論的推理方法。,（2）不完全歸納法,考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法。,歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。,歸納法,如何解決不完全歸納法存在的問題呢？,必須尋找一種用有限個步驟，就能處理完無限多個對象的方法。,,問題情境三,多米諾骨牌操作實驗,,數(shù)學(xué)歸納法,我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性.,（1）證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N＋,k≥n0)時命題成立證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。,這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4…k=10,k+1=10+1=11…,下面我們來證明前面問題3中猜想的正確性,證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=－1,右邊=－1,∴左邊=右邊,∴當(dāng)n=1時，式（*）成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，式（*）成立，即－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＝（－1）kk,在這個假設(shè)下再考慮當(dāng)n=k+1時，式（*）的左右兩邊是否成立.,例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N+時，－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn（*）,,當(dāng)n=k+1時等式左邊＝－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＋（－1）k＋1[2(k+1)－1],＋（－1）k＋1[2(k+1)－1],＝（－1）k＋1(k+1)＝右邊,所以當(dāng)n=k+1時等式（*）成立。,由（1）（2）可知，－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn,利用假設(shè),湊結(jié)論,從n=k到n=k+1有什么變化,＝（－1）kk,＝（－1）k＋1[－k＋2(k+1)－1],,下面的框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：,（1）驗證：n=n0（n0∈N+）時命題成立。,（2）證明：假設(shè)n=k（k≥n0）時命題成立，則n=k+1時命題也成立。,,,,,對所有的n（n0∈N+，n≥n0）命題成立,奠基,假設(shè)與遞推,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個步驟、一個結(jié)論:第一步：驗證當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確第二步：假設(shè)n=k(k∈N＋，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明n=k+1時結(jié)論也正確結(jié)論：由（1）、（2）得出結(jié)論正確,找準起點奠基要穩(wěn),用上假設(shè)遞推才真,寫明結(jié)論才算完整,,,數(shù)學(xué)歸納法主要步驟:,,例2用數(shù)學(xué)歸納法證明,,,14＝4,1,1）此時n0=__左＝_______右=__________,2）假設(shè)n=k時命題成立，即,當(dāng)n=k時，等式左邊共有___項，第(k－1)項是__________________。,k,(K－1)[3(k－1)＋1],1(1＋1)2=4,14+27+310+…+n(3n+1)=n(n+1)2,14+27+310+…+k(3k+1)=k(k+1)2,,,14+27+310+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2,(k+1)[3(k+1)+1],,,當(dāng)n=k+1時左邊=14+27+310+…+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]=(k+1)[k2+4k+4]=(k+1)[(k+1)+1]2＝右邊,練習(xí)鞏固,,,,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：,在驗證n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是,,2,,2.某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)時命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)n=6時該命題不成立B．當(dāng)n=6時該命題成立C．當(dāng)n=4時該命題不成立D．當(dāng)n=4時該命題成立,,,C,3.如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對嗎？,證明：①當(dāng)n=1時，左邊＝,右邊＝,等式成立。②假設(shè)n=k時等式成立，有,那么，當(dāng)n=k+1時，有,即n=k+1時，命題成立。根據(jù)①②可知，對n∈N＋，等式成立。,,,注意:用上假設(shè)遞推才真,第二步證明中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明,既然不對，如何改正？,三注意：1、有時n0不一定等于12、項數(shù)不一定只增加一項。3、一定要用上假設(shè),分析,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋23＋34＋…＋n(n＋1)＝,練習(xí)鞏固,,,,,,從n=k到n=k+1有什么變化,利用假設(shè),湊結(jié)論,證明:,2)假設(shè)n=k時命題成立,即12＋23＋34＋…＋k(k+1)＝,1)當(dāng)n=1時，左邊=12=2,右邊==2.命題成立,∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。,明確初始值n0，驗證真假。（必不可少）“假設(shè)n=k時命題正確”，寫出命題形式。證明“n=k+1時”命題成立。分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項。注意用上假設(shè)，要作結(jié)論,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式注意事項：,,,,,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個步驟、一個結(jié)論:（1）證明當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確（2）假設(shè)n=k(k∈N＋，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明n=k+1時結(jié)論也正確由（1）、（2）得出結(jié)論正確,歸納小結(jié),（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題。（2）兩個步驟，一個結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立。（3）在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)。,遞推基礎(chǔ)不可少歸納假設(shè)要用到結(jié)論寫明莫忘掉,可能錯誤如何避免？,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題。它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮。,數(shù)學(xué)歸納法的核心思想,課堂小結(jié),（1）思考題：問題1中大球中有很多個小球，如何證明它們都是綠色的？,模擬演示,作業(yè),（2）課本作業(yè)P50.習(xí)題4.11，2,（3）補充作業(yè):,用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對于一切n∈N*都成立。,（4）預(yù)習(xí)課本P49例1和例2,哥德巴赫猜想,德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù),都可以表示為三個質(zhì)數(shù)的和.他猜想這個命題是正確的,但他本人無法給予證明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教當(dāng)時頗負盛名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,歐拉經(jīng)過反復(fù)研究,發(fā)現(xiàn):問題的關(guān)鍵在于證明任意大于2的偶數(shù)能表示為兩個質(zhì)數(shù)的和.于是,歐拉對大于2的偶數(shù)逐個加以驗算,最后歐拉猜想上述結(jié)論是正確的。6月30日，他復(fù)信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的定理?！边@就是著名的哥德巴赫猜想.,謝謝！再見！,