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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練七 第1講 排列、組合與二項式定理 理 考情解讀　1.高考中對兩個計數(shù)原理、排列、組合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”問題、相鄰問題、相間問題)為主，主要涉及數(shù)字問題、樣品問題、幾何問題、涂色問題、選取問題等；對二項式定理的考查，主要是利用通項求展開式的特定項，利用二項式定理展開式的性質(zhì)求有關(guān)系數(shù)問題．主要考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、補(bǔ)集思想和邏輯思維能力.2.排列、組合、兩個計數(shù)原理往往通過實際問題進(jìn)行綜合考查，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，還經(jīng)常與概率問題相結(jié)合，出現(xiàn)在解答題的第一或第二個小題中，難度也為中等；對于二項式定理的考查，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題中，難度為易或中等． 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． 2．排列與組合 (1)排列：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或?qū)懗葾＝. (2)組合：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)公式是 C＝或?qū)懗蒀＝. (3)組合數(shù)的性質(zhì) ①C＝C； ②C＝C＋C. 3．二項式定理 (1)二項式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)． (2)二項展開式的通項 Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二項式系數(shù)． (3)二項式系數(shù)的性質(zhì) ①對稱性：與首末兩端“等距離”兩項的二項式系數(shù)相等， 即C＝C，C＝C，…，C＝C，…. ②最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值． ③各二項式系數(shù)的和 a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋…＝2n＝2n－1. 熱點一　兩個計數(shù)原理 例1　(1)將1,2,3，…，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大．當(dāng)3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為(　　) A．6種 B．12種 C．18種 D．24種 (2)如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a10，即x2－m≤0在區(qū)間[，]上恒成立，所以m≥(x2)max，在區(qū)間[，]上，易知當(dāng)x＝時，x2有最大值，最大值為5，所以m≥5. 即實數(shù)m的取值范圍是[5，＋∞)． (推薦時間：60分鐘) 一、選擇題 1．(xx安徽)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有(　　) A．24對 B．30對 C．48對 D．60對 答案　C 解析　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對角線AC成60角的面對角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8條，同理與DB成60角的面對角線也有8條．因此一個面上的2條面對角線與其相鄰的4個面上的8條對角線共組成16對．又正方體共有6個面，所以共有166＝96(對)．又因為每對被計算了2次，因此成60角的面對角線有96＝48(對)． 2．在(x－)5的二項展開式中，x2的系數(shù)為(　　) A．40 B．－40 C．80 D．－80 答案　A 解析　(x－)5的展開式的通項為 Tr＋1＝Cx5－r(－)r＝(－2)rC， 令5－＝2，得r＝2，故展開式中x2的系數(shù)是(－2)2C＝40，故選A. 3．從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 答案　B 解析　根據(jù)分層抽樣，從8個人中抽取男生1人，女生2人；所以取2個女生1個男生的方法：CC＝112. 4．若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a0＋a1＋a3＋a5的值為(　　) A．122 B．123 C．243 D．244 答案　B 解析　在已知等式中分別取x＝0、x＝1與x＝－1，得a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，因此有2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244，a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3＋a5＝123， 故選B. 5．(xx四川)在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 答案　C 解析　因為(1＋x)6的展開式的第r＋1項為Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展開式中含x3的項為Cx3＝15x3，所以系數(shù)為15. 6．計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的排列方式的種數(shù)有(　　) A．AA B．AAA C．CAA D．AAA 答案　D 解析　先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫受限制應(yīng)優(yōu)先考慮，不能放在頭尾，故只能放在中間，又油畫與國畫有A種放法，再考慮國畫與油畫本身又可以全排列，故排列的方法有AAA種． 7．二項式(－)n的展開式中第4項為常數(shù)項，則常數(shù)項為(　　) A．10 B．－10 C．20 D．－20 答案　B 解析　由題意可知二項式(－)n的展開式的常數(shù)項為T4＝C()n－3(－)3＝(－1)3C， 令3n－15＝0，可得n＝5. 故所求常數(shù)項為T4＝(－1)3C＝－10，故選B. 8．有A、B、C、D、E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次．A、B兩位學(xué)生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名．請你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列的種數(shù)為(　　) A．6 B．18 C．20 D．24 答案　B 解析　由題意知，名次排列的種數(shù)為CA＝18. 9．在二項式(x2－)n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為(　　) A．32 B．－32 C．0 D．1 答案　C 解析　依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n＝32，解得n＝5. 因此，令x＝1，則該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于(12－)5＝0，故選C. 10．用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，則所有涂色方法的種數(shù)為(　　) A．60 B．80 C．120 D．260 答案　D 解析　如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4.如果使用2種顏色，則只能是第1,4個小方格涂一種，第2,3個小方格涂一種，方法種數(shù)是CA＝20；如果使用3種顏色，若第1,2,3個小方格不同色，第4個小方格只能和第1個小方格相同，方法種數(shù)是CA＝60，若第1,2,3個小方格只用2種顏色，則第4個方格只能用第3種顏色，方法種數(shù)是C32＝60；如果使用4種顏色，方法種數(shù)是CA＝120.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，知總的涂法種數(shù)是20＋60＋60＋120＝260，故選D. 二、填空題 11．“霧霾治理”“光盤行動”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費”成為xx年社會關(guān)注的五個焦點．小王想利用xx“五一”假期的時間調(diào)查一下社會對這些熱點的關(guān)注度．若小王準(zhǔn)備按照順序分別調(diào)查其中的4個熱點，則“霧霾治理”作為其中的一個調(diào)查熱點，但不作為第一個調(diào)查熱點的調(diào)查順序總數(shù)為________． 答案　72 解析　先從“光盤行動”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費”這4個熱點選出3個，有C種不同的選法；在調(diào)查時，“霧霾治理”安排的調(diào)查順序有A種可能情況，其余三個熱點調(diào)查順序有A種，故不同調(diào)查順序的總數(shù)為CAA＝72. 12．(x－1)(4x2＋－4)3的展開式中的常數(shù)項為________． 答案　160 解析　(x－1)(4x2＋－4)3＝(x－1)(2x－)6，其中(2x－)6展開式的第r＋1項為Tr＋1＝C(2x)6－r(－)r＝(－1)rC26－rx6－2r， 令r＝3，可得T4＝(－1)3C23＝－160， 所以二項式(x－1)(4x2＋－4)3的展開式中常數(shù)項為(－1)(－160)＝160. 13．(xx北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 答案　36 解析　將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法．于是符合題意的排法共有AA－AA＝36(種)． 14．(xx課標(biāo)全國Ⅱ)(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫答案) 答案　 解析　設(shè)通項為Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7， ∴r＝3，∴x7的系數(shù)為Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝. 15．某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個不同的車間，每個車間至少分配一名員工，且甲、乙兩名員工必須分到同一個車間，則不同分法的種數(shù)為________． 答案　36 解析　若甲、乙分到的車間不再分人，則分法有CAC＝18種；若甲、乙分到的車間再分一人，則分法有3CA＝18種．所以滿足題意的分法共有18＋18＝36種． 16．已知(x＋)6(a>0)的展開式中常數(shù)項為240，則(x＋a)(x－2a)2的展開式中x2項的系數(shù)為________． 答案　－6 解析　(x＋)6的二項展開式的通項為 Tr＋1＝Cx6－r()r＝Ca，令6－＝0，得r＝4，則其常數(shù)項為Ca4＝15a4＝240，則a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展開式中，x2項為－3ax2.故x2項的系數(shù)為(－3)2＝－6.