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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 4.6 正弦定理和余弦定理高效作業(yè) 理 新人教A版 學(xué)號：________　得分：________　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(xx太原五中月考)△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則C的大小為(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：p∥q?(a＋c)(c－a)＝b(b－a)?b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得2cos C＝1， 即cos C＝?C＝. 答案：B 2．(xx沈陽第二次質(zhì)量監(jiān)測)△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，且cos2B＋3cos (A＋C)＋2＝0，b＝，則c∶sin C等于(　　) A．3∶1 B.∶1 C.∶1 D．2∶1 解析：cos 2B＋3cos (A＋C)＋2＝2cos 2B－3cos B＋1＝0， ∴cos B＝或cos B＝1(舍)． ∴B＝. ∴＝＝＝2.故選D. 答案：D 3．(xx贛縣考前適應(yīng))關(guān)于x的方程x2－xcos Acos B－cos 2＝0有一個根為1，則△ABC中一定有(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＋B＝ 解析：關(guān)于x的方程x2－xcos Acos B－cos 2＝0有一個根為1， ∴1－cos Acos B－cos 2＝0 ?sin 2＝cos Acos B?＝cos Acos B ?1＋cos (A＋B)＝2cos Acos B ?cos (A－B)＝1，A－B＝0，∴A＝B.故選A. 答案：A 4．(xx山西大學(xué)附中)一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) A.海里/小時 B．34海里/小時 C.海里/小時 D．34海里/小時 解析：如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝(海里/小時)．故選A. 答案：A 5．(xx衛(wèi)輝月考)△ABC中，a、b、c分別為A、B、C所對的邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，B＝30，△ABC的面積為，那么b等于(　　) A. B．1＋ C. D．2＋ 解析：∵a、b、c成等差數(shù)列， ∴2b＝a＋c. 平方得a2＋c2＝4b2－2ac. 又△ABC的面積為，且B＝30， 故由S△ABC＝acsin B ＝acsin30＝ac＝，得ac＝6. ∴a2＋c2＝4b2－12. 由余弦定理，得cos B＝＝＝＝， 解得b2＝4＋2. 又b＞0，∴b＝1＋. 答案：B 6．(xx遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則∠B＝(　　) A. B. C. D. 解析：由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，所以sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Bsin(A＋C)＝sin2 B＝sin B，因為sin B≠0，所以sin B＝，又因為a＞b，所以B為銳角，故∠B＝. 答案：A 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．(xx福建)如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 解析：sin∠BAC＝＝sin(＋∠BAD)＝cos∠BAD.在△BAD中，BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos∠BAD＝18＋9－233＝3，所以BD＝. 答案： 8．(xx北京模擬)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，則b＝________. 解析：將b＋c＝7變形為c＝7－b后，利用余弦定理求解．在△ABC中，由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B，已知b＋c＝7，故b2＝4＋(7－b)2－22(7－b)(－)，整理得15b－60＝0.∴b＝4. 答案：4 9．(xx江西上饒中學(xué)二模)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝1，c＝， (1)若C＝，則A＝________； (2)若A＝，則b＝________. 解析：利用正弦定理解三角形時，易出現(xiàn)丟解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出A＝或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出C＝，所以B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)丟角的錯誤． 答案：(1)由正弦定理＝，得sin A＝＝，又a＜c，∴A＜C，則A＝. (2)由＝，得C＝或， 當(dāng)C＝時，B＝，可得b＝2； 當(dāng)C＝時，B＝，此時得b＝1. 故(1)中填；(2)中填2或1. 10．(xx河南適應(yīng)性測試)有一解三角形的題因紙張破損有一個條件不清，具體如下：在△ABC中，已知a＝，B＝45，________，求角A.經(jīng)推斷破損處的條件為三角形一邊的長度，且答案提示A＝60，請直接在題中橫線上將條件補充完整． 解析：根據(jù)已知條件a，B，A可以利用正弦定理、余弦定理判斷．由正弦定理，得＝， 即＝，得b＝. 由余弦定理，得 cos A＝＝＝， 可求出c＝.故填c＝. 答案：c＝ 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟) 11．(xx遼寧模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列． (1)求cos B的值； (2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sin Asin C的值． 解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180，解得B＝60，所以cosB＝. (2)解法一：由已知b2＝ac，及cosB＝， 根據(jù)正弦定理得sin2B＝sin Asin C，所以 sin Asin C＝1－cos2B＝. 解法二：由已知b2＝ac，及cos B＝， 根據(jù)余弦定理得cos B＝，解得a＝c，所以A＝C＝B＝60，故sin Asin C＝. 12．(xx江蘇模擬)在△ABC中，已知＝3. (1)求證：tan B＝3tan A； (2)若cos C＝，求A的值． 解：(1)因為＝3， 所以ABACcos A＝3BABCcos B， 即ACcos A＝3BCcos B， 由正弦定理知＝， 從而sin Bcos A＝3sin Acos B， 又因為0＜A＋B＜π，所以cos A＞0，cos B＞0， 所以tan B＝3tan A. (2)因為cos C＝，0＜C＜π， 所以sin C＝＝， 從而tan C＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2， 即tan(A＋B)＝－2， 亦即＝－2，由(1)得＝－2，解得tan A＝1或－， 因為cos A＞0，故tan A＝1，所以A＝. 13．(xx江西五校聯(lián)考)某觀測站C在城A的南偏西20的方向，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40，在C處測得公路上B處有一人，距C為31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，問：這人還要走多少千米才能到達A城？ 解：本題為解斜三角形的應(yīng)用問題，要求這人走多少才可到達A城，也就是要求AD的長． 在△ACD中，已知CD＝21千米，∠CAD＝60，只需再求出一個量即可． 如圖所示，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得 cosβ＝ ＝＝－，∴sinβ＝. 而sinα＝sin(β－60)＝sinβcos60－sin60cosβ ＝＋＝， 在△ACD中，＝， ∴AD＝＝15(千米)． 答：這個人再走15千米就可到達A城．