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2019年高考數(shù)學大一輪總復習 8.7 立體幾何中的向量方法高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知二面角α－l－β的大小是，m，n是異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為(　　) A. B. C. D. 解析：∵m⊥α，n⊥β， ∴異面直線m，n所成的角與二面角α－l－β相等或互補． 又∵異面直線所成角的范圍為(0，]， ∴m，n所成的角為. 答案：B 2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為(　　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 解析：∵⊥， ∴＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4， 又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥， 則解得 答案：B 3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系． 設AA1＝2AB＝2，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)， ∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)， ∴cos〈，〉＝＝. 答案：C 4．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定 解析：分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．∵A1M＝AN＝a， ∴M(a，a，)，N(a，a，a)． ∴＝(－，0，a)． 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)， ∴＝(0，a,0)． ∴＝0.∴⊥. ∵是平面BB1C1C的法向量，且MN?平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 答案：B 5．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中點，則GB與平面AGC所成角的正弦值為 (　　) A. B. C. D. 解析：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系， 則A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)， ＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)， ＝(a，－a,0)． 設平面AGC的法向量為n1＝(x1，y1,1)， 由?? ?n1＝(1，－1,1)． sinθ＝＝＝. 答案：C 6．過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 解析：建立如圖所示空間直角坐標系，設AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1) 由題意，AD⊥平面ABP，設E為PD的中點，連接AE，則AE⊥PD， 又∵CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD， 又PD∩CD＝D， ∴AE⊥平面CDP. ∴＝(0,1,0)，＝(0，，) 分別是平面ABP，平面CDP的法向量，而〈，〉＝45， ∴平面ABP與平面CDP所成的二面角為45. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．(xx南通模擬)設平面α與向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β與向量b＝(2,3,1)垂直，則平面α與β的位置關系是________． 解析：由題知a，b分別是平面α，β的法向量， 又ab＝(－1)2＋23＋(－4)1＝0， ∴a⊥b，∴α⊥β. 答案：垂直 8．正四棱錐S－ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________． 解析：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系O－xyz. 設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a，0,0)，P(0，－，)． 則＝(2a,0,0)， ＝(－a，－，)， ＝(a，a,0)． 設平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60， ∴直線BC與平面PAC所成的角為90－60＝30. 答案：30 9．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿對角線BD將△ABD折起，使A點在平面BCD內的射影O落在BC邊上，若二面角C－AB－D的大小為θ，則sinθ的值等于________． 解析：由題意可求得BO＝，OC＝，AO＝， 建立空間直角坐標系如圖，則C(，0,0)， B(－，0,0)，A(0,0，)，D(，3,0)， ＝(4,3,0)，＝(，0，)． 設m＝(x，y，z)是平面ABD的一個法向量． 則取z＝－3，x＝7，y＝－， 則m＝(7，－，－3)． 又＝(0,3,0)是平面ABC的一個法向量， ∴cos〈m，〉＝＝＝－， sinθ＝ ＝. 答案： 10．(xx臨沂期末)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，則二面角C1－AB－C的余弦值為________． 解析：如圖建立空間直角坐標系， 則A(0,0,0)，＝(0,1,2)，＝(，，0) 設n＝(x，y，z)為平面ABC1的法向量 則 取n＝(－，2，－1)， 取m＝(0,0,1)，作為平面ABC的法向量． 則cos〈m，n〉＝－＝－. ∴二面角C1－AB－C的余弦值為. 答案： 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟) 11．(xx伽師二中二模)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30，平面PAB⊥平面ABC. (1)求證：PA⊥平面PBC； (2)求二面角P－AC－B的余弦值； (3)求異面直線AB和PC所成角的余弦值． 解：由于平面PAB⊥平面ABC，且PA＝PB， ∴以AB的中點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 ∵PA＝PB＝，∴AB＝2，PO＝. 又∠BAC＝30，AB⊥BC，∴BC＝2， ∴A(0，－，0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(2，，0)． (1)證明：∵＝(0，－，－)，＝(2,0,0)， ∴＝0， ∴PA⊥BC.又∵PA⊥PB，PB∩BC＝B， ∴PA⊥平面PBC. (2)作OM⊥AC于點M，連結PM. 又∵PO⊥平面ABC，∴PM⊥AC， ∴∠PMO是二面角P－AC－B的平面角． 在Rt△AMO中，OM＝AOsin30＝＝，∴M(，－，0)， 從而＝(－，，0)，＝(－，，)． ∴cos〈，〉＝＝. (3)∵＝(0,2，0)，＝(2，，－)， ∴cos〈，〉＝＝. 12．(xx南昌一模)如圖所示，在底面是矩形的四棱錐，P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求證：平面PDC⊥平面PAD； (2)若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值； (3)在BC邊上是否存在一點G，使得D點到平面PAG的距離為1.若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由． 解：如圖所示，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，E(0,1，)，P(0,0,1)． ∴＝(－1,0,0)，＝(0,2,0)，＝(0,0,1)，＝(0,1，)，＝(1,2，－1)， (1)證明： ?平面PDC⊥平面PAD. (2)∵cos〈，〉＝＝＝，∴AE與PC所成角的余弦值為. (3)假設BC邊上存在點G滿足題設條件，令BG＝x，則G(1，x,0)，作DQ⊥AG， 又∵PA⊥DQ，PA∩AG＝A，則DQ⊥平面PAG，即DQ＝1. ∵2S△ADG＝S矩形ABCD，∴||||＝||||＝2，∴||＝2，又AG＝， 則x＝＜2， 故存在點G，當BG＝時，點D到平面PAG的距離為1. 13．(xx延邊質檢)如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點． (1)求證：AF∥平面BCE； (2)求證：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值． 解法一： (1)證明：取CE的中點G，連結FG、BG. ∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF＝DE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)證明：∵△ACD等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)在平面CDE內，過F作FH⊥CE于H，連BH. ∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE. ∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角． 設AD＝DE＝2AB＝2a， 則FH＝CFsin45＝a， BF＝＝＝2a， Rt△FHB中，sin∠FBH＝＝. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為. 解法二：設AD＝DE＝2AB＝2a，建立如圖所示的坐標系A—xyz， 則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)． ∵F為CD的中點，∴F(a，a,0)． (1)證明：＝(a，a,0)，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)． ∵＝(＋)，AF?平面， ∴AF∥平面BCE. (2)證明：∵＝(a，a,0)，＝(－a，a,0)，＝(0,0,2a)， ∴＝0，＝0， ∴⊥，⊥. ∴AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)設平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)， 由n＝0，n＝0， 可得x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)． 又＝(a，a，－a)， 設BF和平面BCE所成的角為θ， 則sinθ＝＝＝. ∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.