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2019年高中數(shù)學(xué) 3.1 第1課時(shí)歸納推理同步檢測(cè) 北師大版選修1-2 一、選擇題 1．觀察下列數(shù)列的特點(diǎn)：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，則第100項(xiàng)是(　　) A．10 B．13 C．14 D．100 [答案]　C [解析]　∵＝91，∴從第92項(xiàng)到第105項(xiàng)都是14，故選C. 2．觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)適合的圖形為(　　) □ ● ▲ ▲ ■ ○ ● △ A.■ B．△ C．□ D．○ [答案]　A [解析]　圖形涉及三種符號(hào)□、○、△，其中符號(hào)○與△各有3個(gè)，且各自有二黑一白，所以□缺一個(gè)黑色符號(hào)，即應(yīng)畫(huà)上■才合適． 3．用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖形需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 [答案]　C [解析]　歸納“金魚(yú)”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚(yú)”都比它前面的“金魚(yú)”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚(yú)頭部分，故各“金魚(yú)”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝6n＋2. 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，故應(yīng)選B. 5．如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，若按這種規(guī)律排列下去，那么第36顆珠子的顏色是(　　) A．白色 B．黑色 C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大 [答案]　A [解析]　由圖知，這串珠子的排列規(guī)律是：每5個(gè)一組(前3個(gè)是白色珠子，后2個(gè)是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝57＋1，即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子，其顏色與第一顆珠子的顏色相同，故它的顏色一定是白色． 6．四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐在第1,2,3,4號(hào)座位上(如圖所示)，如果第1次前后排動(dòng)物互換座位，第2次左右列動(dòng)物互換座位，…，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2 013次互換座位后，小兔坐在第(　　)號(hào)座位上．(　　) 開(kāi)始　　　 第1次　　　 第2次　　　 第3次 A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　A [解析]　由題意得第4次互換座位后，四個(gè)小動(dòng)物回到了原位，即每經(jīng)過(guò)4次互換座位后，小動(dòng)物回到原位，所以第2 013次互換座位后的結(jié)果與第1次互換座位后的結(jié)果相同，小兔坐在第1號(hào)座位上．故選A. 二、填空題 7．考查下列式子：1＝12；2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，得出的結(jié)論是________． [答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析]　從數(shù)值特征看，等式左邊首數(shù)為n時(shí)，共有連續(xù)2n－1個(gè)數(shù)，右邊為(2n－1)2. 8．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列正確不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫(xiě)出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b成立的條件不等式：________. [答案]　當(dāng)a＋b＝20時(shí)，有＋≤2(a>0，b>0) [解析]　各不等式右邊相同，左邊兩根號(hào)內(nèi)的數(shù)之和等于20. 三、解答題 9．已知Sn＝＋＋＋…＋，寫(xiě)出S1，S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達(dá)式． [分析]　在Sn中分別令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進(jìn)行歸納推測(cè)． [解析]　S1＝＝； S2＝＋＝＋＝＝； S3＝＋＋＝＋＝＝； S4＝＋＋＋＝＋＝＝； 由此猜想：Sn＝(n∈N＋)． [點(diǎn)評(píng)]　本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達(dá)式，有兩點(diǎn)應(yīng)注意：①正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；②在對(duì)特殊值進(jìn)行規(guī)律觀察時(shí)，有時(shí)需要將所得結(jié)果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性． 10．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin13cos17； ②sin215＋cos215－sin15cos15； ③sin218＋cos212－sin18cos12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． [答案]　(1)　(2)sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝　證明略 [解析]　解法一： (1)選擇(2)式，計(jì)算如下： sin215＋cos215－sin15cos15＝1－sin30 ＝1－＝. (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 解法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝＋－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝－cos2α＋＋(cos60cos2α＋sin60sin2α)－sinαcosα－sin2α ＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α) ＝1－cos2α－＋cos2α＝. 一、選擇題 11．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱作正方形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正方形(如下圖)， 則第n個(gè)正方形數(shù)是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2 [答案]　C [解析]　第n個(gè)正方形數(shù)的數(shù)目點(diǎn)可排成每邊都有n個(gè)點(diǎn)的正方形，故為n2. 13．平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個(gè)圖中的圓的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則下列結(jié)論正確的是(　　) ①a5＝15； ②數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列； ③數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列； ④數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an＝an－1＋n(n∈N*)． A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④ [答案]　D [解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確．同時(shí)④正確，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯(cuò)誤，故選D. 12．如圖是元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是(　　) [答案]　A [解析]　由前三個(gè)圖形呈現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律可知，下一個(gè)圖形可視作上一圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144得到的，故由第三個(gè)圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144得到的圖形應(yīng)為A. 二、填空題 14．觀察下列不等式 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， …… 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_(kāi)_______． [答案]　1＋＋＋＋＋< [解析]　本題考查了歸納的思想方法． 觀察可知1＋＋＋…＋<， 所以第五個(gè)不等式為： 1＋＋＋＋＋<. 在用歸納法歸納一般性結(jié)論的時(shí)候，要養(yǎng)成檢驗(yàn)意識(shí)． 15．如圖是由一些小正方體摞成的．第(1)堆有1個(gè)，第(2)堆有4個(gè)，第(3)堆有10個(gè)…，則第n堆有________個(gè)小正方體． [答案]　n(n＋1)(n＋2) [解析]　第一堆有1個(gè)；第二堆有1＋(1＋2)＝4個(gè)；第三堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10個(gè)；……；第n堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)(n＋2)個(gè)． 三、解答題 16．由下列各式： 1>， 1＋＋>1， 1＋＋＋＋＋＋>， 1＋＋＋＋…＋>2， 請(qǐng)你歸納出一般結(jié)論． [解析]　將題中所給四個(gè)式子變形>， 1＋＋>， 1＋＋＋＋＋＋>， 1＋＋＋＋…＋>， 歸納概括，猜測(cè)得1＋＋＋…＋>. 17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2，n∈N＋)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式． [解析]　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1， ∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1. ∴＋Sn－1＋2＝0. 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝－； 當(dāng)n＝2時(shí)，＝－2－S1＝－， ∴S2＝－； 當(dāng)n＝3時(shí)，＝－2－S2＝－， ∴S3＝－； 當(dāng)n＝4時(shí)，＝－2－S3＝－， ∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N＋)．