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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第18講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求三角函數(shù)值.2.借助誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式，進(jìn)而求三角函數(shù)值． 一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1．平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. 2．商數(shù)關(guān)系：tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)． 二、六組誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 誘導(dǎo)公式記憶口訣 對(duì)于角“α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”． 1．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，則sin α＝(　　) A．－　　　　B.　　　　C.　　　　D． 【解析】　∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝，又α是第四象限角， ∴sin α＜0，則sin α＝－＝－. 【答案】　A 2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，則θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)得 －sin θ＝－cos θ， ∴tan θ＝，又|θ|＜，∴θ＝，故選D. 【答案】　D 3．sin 585的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 【解析】　sin 585＝sin(360＋225)＝sin 225＝sin(180＋45)＝－sin 45＝－. 【答案】　A 4．若cos α＝－且α∈，則tan α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】　∵cos α＝－，且α∈， ∴sin α＝－＝－＝－， ∴tan α＝＝. 【答案】　B 5．(xx遼寧高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則sin 2α＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 【解析】　因?yàn)閟in α－cos α＝，所以1－2sin αcos α＝2， 即sin 2α＝－1. 【答案】　A 6．(xx廣東高考)已知sin＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】　sin＝cos α，故cos α＝，故選C. 【答案】　C 考向一 [050]　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 　(1)已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值是(　　) A.　　　B．－　　　C．－2　　　D．2 (2)(xx嘉興模擬)已知α∈，tan α＝2，則cos α＝________. 【思路點(diǎn)撥】　(1)先根據(jù)已知條件求得tan α，再把所求式變?yōu)橛胻an α表示的式子求解； (2)切化弦，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1求解． 【嘗試解答】　(1)由＝5，得＝5，即tan α＝2. 所以sin2α－sin αcos α＝＝＝. (2)依題意得 由此解得cos2α＝； 又α∈(π，)，因此cos α＝－. 【答案】　(1)A　(2)－ 規(guī)律方法1　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化. 2.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx汕頭模擬)若tan α＝2，則的值為(　　) A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D. (2)若α∈，且sin α＝，則tan α＝________. 【解析】　(1)∵tan α＝2， ∴＝＝＝. (2)∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－. 【答案】　(1)B　(2)－ 考向二 [051]　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 　(1)sin 600＋tan 240的值等于(　　) A．－　　　B.　　　C.－　　　D.＋ (2)若sin＝，則cos等于(　　) A．－ B．－ C. D. (3)(xx濰坊模擬)已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝(　　) A．－2 B．2 C．0 D. 【思路點(diǎn)撥】　(1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡． (2)分析角“－α”與“＋α”間的關(guān)系． (3)先求tan θ的值，再對(duì)原式化簡，代入求值便可． 【嘗試解答】　(1)sin 600＋tan 240＝sin(360＋240)＋tan(180＋60) ＝sin(180＋60)＋tan 60 ＝－sin 60＋tan 60＝－＋＝. (2)cos＝cos＝sin＝. (3)由題意可知tan θ＝2. 故＝ ＝＝＝2. 【答案】　(1)B　(2)C　(3)B 規(guī)律方法2　1.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓剑蛩蠼呛腿呛瘮?shù)進(jìn)行化歸. 2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值. 考向三 [052]　sin αcos α與sin αcos α的關(guān)系 　(xx昌平模擬)已知－π＜x＜0，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值； (2)求的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用平方關(guān)系，設(shè)法溝通sin x－cos x與sin x＋cos x的關(guān)系；(2)先利用倍角公式、商數(shù)關(guān)系式化為角x的弦函數(shù)，再設(shè)法將所求式子用已知表示出來． 【嘗試解答】　(1)法一：由sin x＋cos x＝，平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－. ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝. 又∵－π＜x＜0， ∴sin x＜0，又sin x＋cos x＞0， ∴cos x＞0，sin x－cos x＜0， 故sin x－cos x＝－. 所以sin x－cos x＝－法二：由法一可知sin xcos x＝－＜0， 又－π＜x＜0，所以sin x＜0，cos x＞0， 聯(lián)立得 －＝－. (2)＝ ＝＝＝－. 規(guī)律方法3　1.第(1)問應(yīng)注意x的范圍對(duì)sin x－cos x的符號(hào)的影響.事實(shí)上根據(jù)條件可進(jìn)一步判定x∈. 2.對(duì)于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求，轉(zhuǎn)化公式為(sin αcos α)2＝12sin αcos α，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(xx威海模擬)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則tan θ的值為(　　) A．－或－　　　 B．－ C．－ D．－ 【解析】　法一　由sin θ＋cos θ＝兩邊平方得， sin θcos θ＝－， 由sin θcos θ＝＝＝－， 解得tan θ＝－或tan θ＝－， ∵θ∈(0，π)，0＜sin θ＋cos θ＝(－1)＜1， ∴θ∈，|sin θ|＞|cos θ|，∴|tan θ|＞1， 即θ∈. ∴tan θ＜－1， ∴tan θ＝－舍去， 故tan θ＝－. 法二：由sin θ＋cos θ＝，兩邊平方得 sin θcos θ＝－， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ ＝1＋＝＝2. ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝(－1)＜1， ∴θ∈，sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝. 由 解得 ∴tan θ＝－. 【答案】　C 易錯(cuò)易誤之七　撥云見日——三角函數(shù)式中“角范圍”的信息提取 ————　[1個(gè)示范例]　———— [1個(gè)防錯(cuò)練]　———— 　　(xx大綱全國卷)已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝(　　) A．－　　　B．－　　　 C.　　　D. 【解析】　∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝， ∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－. 又∵α為第二象限角且sin α＋cos α＝>0， 此處在求解中，分析不出“sin α＋cos α＝＞0”這個(gè)隱含信息，導(dǎo)致后面的“α”范圍無法確定，進(jìn)而影響后面的解答. ∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)， ∴2α為第三象限角， ∴cos 2α＝－＝－. 【防范措施】　(1)由sin α＋cos α＝，隱含著sin α＋cos α＞0，即sin α＞－cos α，結(jié)合α為第二象限角可進(jìn)一步約束角α的范圍. (2)利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值，開方時(shí)應(yīng)注意三角函數(shù)值符號(hào)的判斷. 　若sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，則cos 2θ的值為________． 【解析】　由題意可知，sin θ＋cos θ＝， ∴(sin θ＋cos θ)2＝， ∴sin 2θ＝－. 即2sin θcos θ＝－＜0，則sin θ與cos θ異號(hào)， 又sin θ＋cos θ＝＞0， ∵＜θ＜. ∴π＜2θ＜， 故cos 2θ＝－＝－. 【答案】　－