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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第九章 第5節(jié) 古典概型 理（含解析） 1．（xx陜西，5分）從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：　從這5個點中任取2個，有C＝10種取法，滿足兩點間的距離不小于正方形邊長的取法有C＝6種，因此所求概率P＝＝.故選C. 答案：C 2．（xx新課標全國Ⅰ，5分）從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本題主要考查列舉法解古典概型問題的基本能力，難度較?。畯?,2,3,4中任取2個不同的數(shù)有以下六種情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，滿足取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝. 答案：B 3．（xx新課標全國Ⅱ，5分）從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是________． 解析：本題主要考查古典概型，意在考查考生對基本概念的理解與基本方法的掌握．從五個數(shù)中任意取出兩個數(shù)的可能結(jié)果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個，其中“和為5”的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，共2個，故所求概率為＝. 答案： 4．（xx山東，5分）某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(單位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 體重指標 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率． 解：本題主要考查古典概型，考查數(shù)據(jù)處理能力和運算能力． (1)從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個． 由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 選到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個．因此選到的2人的身高都在1.78以下的概率為P＝＝. (2)從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個． 由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3個． 因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率為P1＝. 5．（xx遼寧，12分）現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求： (1)所取的2道題都是甲類題的概率； (2)所取的2道題不是同一類題的概率． 解：本題主要考查用列舉法列出基本事件空間以及基本事件，意在考查考生古典概型的一些基本概念和古典概率的求法． (1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6，任取2道題，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，所以P(A)＝＝. (2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個，所以P(B)＝. 6．（xx天津，13分）某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品．先從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標 (x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號 A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標 (x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率； (2)在該樣本的一等品中， 隨機抽取2件產(chǎn)品， (ⅰ) 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果； (ⅱ) 設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中， 每件產(chǎn)品的綜合指標S都等于4”， 求事件B發(fā)生的概率． 解：本題主要考查用樣本估計總體的方法、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力和運用概率知識解決簡單問題的能力．(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)(ⅰ)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種． (ⅱ)在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種． 所以P(B)＝＝. 7．（xx北京，13分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天． (1)求此人到達當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率； (2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率； (3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明) 解：本題主要考查考生利用古典概型處理較為熱點的環(huán)境問題的能力，意在考查考生的推理論證能力、識圖能力、等價轉(zhuǎn)化能力． (1)在3月1日至3月13日這13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質(zhì)量優(yōu)良，所以此人到達當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率是. (2)根據(jù)題意，事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價于“此人到達該市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”， 所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為. (3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大. 8．（xx安徽，5分）袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析：標記紅球為A，白球分別為B1、B2，黑球分別為C1、C2、C3，記事件M為“取出的兩球一白一黑”．則基本事件有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共15個．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共6個．根據(jù)古典概型的概率計算公式可得其概率為P(M)＝＝. 答案：B 9．（2011新課標全國，5分）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：甲、乙各自參加一個興趣小組是相互獨立的事件，且每人報每個興趣小組也是獨立的，故兩位同學(xué)參加同一興趣小組的概率為C＝. 答案：A 10．（2011浙江，5分）從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：從3個紅球、2個白球中任取3個，根據(jù)窮舉法，可以得到10個基本事件，其中沒有白球的取法只有一種，因此所取的3個球中至少有1個白球的概率P＝1－P(沒有白球)＝1－＝. 答案：D 11．（2011江蘇，5分）從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是____． 解析：采用枚舉法：從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，符合“一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2個，所以所求的概率為. 答案： 12．（xx江蘇，5分）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________． 解析：設(shè)3只白球為A，B，C,1只黑球為d， 則從中隨機摸出兩只球的情形有： AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為. 答案： 13. （xx江西，12分）如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點． (1)求這3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率； (2)求這3點與原點O共面的概率． 解：從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)果是： x軸上取2個點的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4種； y軸上取2個點的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4種； z軸上取2個點的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4種． 所選取的3個點在不同坐標軸上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8種．因此，從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結(jié)果共20種． (1)選取的這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的所有可能結(jié)果有A1B1C1，A2B2C2，共2種，因此，這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率為P1＝＝. (2)選取的這3個點與原點O共面的所有可能結(jié)果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12種，因此，這3個點與原點O共面的概率為P2＝＝.