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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列 第41課 等差數(shù)列 文（含解析） 1．等差數(shù)列的定義 （1）如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于___________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的__ _____，通常用字母d表示 （2）符號表示： ． 2.等差中項 如果 成等差數(shù)列，那么____叫做 與 的等差中項，且 _____________. 3.等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的前項和 已知條件 通項公式 已知條件 前項和公式 ______________ ______________ ______________ ______________ 例1. （xx安徽高考）設(shè)為等差數(shù)列的前項和,，則（　?。? A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為， ∵， ∴，解得，∴. 練習(xí)：（1）已知為等差數(shù)列，其前項和為，若，，則公差（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴． （2）（xx全國高考）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，,則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意知=，∴， ，∴公差，∴，∴. 4. 等差數(shù)列的重要性質(zhì):若是等差數(shù)列，則 （1）若，則 ．（2）． （3）仍是等差數(shù)列． （4）．（即：當(dāng)為奇數(shù)時，，其中 是中間項） （5）兩個等差數(shù)列、的前項和分別為、，則 例2.（1）等差數(shù)列中，若，那么。 （2）等差數(shù)列中前項和為，若，，那么公差。 （3）等差數(shù)列中，，，則。 （4）等差數(shù)列中，，，則。 （5）兩個等差數(shù)列、的前項和分別為、，且，則， 5.等差數(shù)列的判定方法 1．定義法： (常數(shù)) 是等差數(shù)列． 2．中項公式法： 是等差數(shù)列． 例3.已知數(shù)列中，且（且）． （1）求證數(shù)列為等差數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項公式． 【解析】（1）∵，當(dāng)時， ∴是以為首項，以為公差的等差數(shù)列． （2）由（1）知，∴． 練習(xí)：已知正項數(shù)列中，，，， （1）令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列（2）求數(shù)列的通項公式 【解析】（1）∵ ∴，即， ∵，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列， （2）由（1）數(shù)列為等差數(shù)列 ∵，， ∴，∴， 6．等差數(shù)列的增減性： （1）當(dāng) 時，為遞增數(shù)列，且 時前項和有最小值． 此時，最小 （2）當(dāng) 時，為遞減數(shù)列，且 時前項和有最大值． 此時，最大 例4.（xx揭陽一模）已知等差數(shù)列滿足：，則前項和取最大值時，的值為（ ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【解析】∵等差數(shù)列滿足，， ∴，∴． 若最大，則 ，即 解得 ， 故取最大值時，的值為21． 第41課 等差數(shù)列的課后作業(yè) 1．等差數(shù)列，…的第四項等于（ ） A． B． C． D． 解：，解得，所以這個數(shù)列為 ，選C 2．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則的值為（ ） A． B． C． D． 解：，，即 ，，選C 3. (xx江門二模)已知數(shù)列 是等差數(shù)列，若， ，則的公差是(　　) A．1　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，∴ 解得 ， ，故選B. 答案：B 4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且，則的值為(　　) A. B． C．－ D．－ 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得 ， ∴，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.故選D. 答案：D 5．(xx重慶卷)若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則c－a＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列2，a，b，c,9的公差為d，則9－2＝4d，所以d＝，c－a＝2d＝2＝. 答案： 6．(xx南京二模)設(shè)Sn是等差數(shù)列的前項和．若，則_________. 解析：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則有＝，得a1＝2d，∴＝＝. 答案： 7．已知等差數(shù)列中，，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列的前項和，求的值． 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差，則， ∴，∴．． （2）∵， ∴，解得或． ∵，∴． 8．已知數(shù)列滿足，且對任意，都有． （1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式 【解析】（1）， 即， ∴， ∴數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列． （2）由（1）可得數(shù)列的通項公式為，∴． 9.在等差數(shù)列中，已知，前項和為，且，求當(dāng)取何值時有最大值，并求出它的最大值． 【解析】（1）∵在等差數(shù)列中， ，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴或時，有最大值，最大值為130． 10．（xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ）如圖13，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點． (1)證明：PB∥平面AEC； (2)設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P ABD的體積V＝，求A到平面PBC的距離． 圖13 解：(1)證明：設(shè)BD與AC的交點為O，連接EO. 因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點． 又E為PD的中點，所以EO∥PB. EO?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC. (2)V＝PAABAD＝AB， 由V＝，可得AB＝. 作AH⊥PB交PB于點H. 由題設(shè)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH， 因為PB∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC.又AH＝＝， 所以點A到平面PBC的距離為