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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第45講 幾何概型練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.考查與長度、面積、體積等有關(guān)的幾何概型計(jì)算.2.主要以選擇題和填空題形式考查，一般為中低檔題． 一、幾何概型的定義 　如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 二、幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) 幾何概型的特點(diǎn) 幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗(yàn)中的可能結(jié)果不是有限個(gè)，它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，故隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)． 三、幾何概型的概率公式 　P(A)＝. 1．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過2分鐘的概率是(　　) A.　　　 　B.　　　 　C.　　 　　D. 【解析】　試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5，所求事件的區(qū)域長度為2，故所求概率為P＝. 【答案】　C 2．有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　) 【解析】　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 【答案】　A 圖10－6－1 3．如圖10－6－1，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　“點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部”記為事件M，由幾何概型得P(M)＝＝＝. 【答案】　C 4．在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． 【解析】　記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A，則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外． 又V正方體ABCD—A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝π13＝π. ∴所求事件概率P(A)＝＝1－. 【答案】　1－ 5．(xx陜西高考) 圖10－6－2 如圖10－6－2，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基戰(zhàn)，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是(　　) A．1－ B.－1 C．2－ D. 【解析】　取面積為測度，則所求概率為P＝＝＝＝1－. 【答案】　A 6．(xx福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1＞0”發(fā)生的概率為________． 【解析】　選擇區(qū)間長度為測度求解幾何概型． 由題意知0≤a≤1.事件“3a－1＞0”發(fā)生時(shí)，a＞且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝＝. 【答案】　 考向一 [186]　與長度有關(guān)的幾何概型 　在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sin x＋cos x∈[1，]的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【思路點(diǎn)撥】　先化簡不等式，確定滿足sin∈[1，]且在區(qū)間內(nèi)x的范圍，根據(jù)幾何概型利用長度之比可得結(jié)論． 【嘗試解答】　∵sin x＋cos x∈[1，]， 即sin∈， ∵x∈， ∴在區(qū)間內(nèi)，滿足sin∈的x∈， ∴事件sin x＋cos x∈[1，]的概率為P＝＝. 【答案】　B 規(guī)律方法1　1.解答本題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍，這需要用到三角函數(shù)的單調(diào)性． 2．幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率． 對點(diǎn)訓(xùn)練　已知函數(shù)f(x)＝log2x，若在[1,4]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x0，則使得f(x0)≥1成立的概率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】　解不等式log2x≥1，可得x≥2， ∴在區(qū)間[1,4]上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x，該實(shí)數(shù)x滿足不等式1≤log2x的概率為＝. 【答案】　C 考向二 [187]　與面積有關(guān)的幾何概型 　如圖10－6－3所示，在一個(gè)邊長為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y＝和曲線y＝x2圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分)，向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是________． 圖10－6－3 【思路點(diǎn)撥】　利用積分求出陰影部分的面積，根據(jù)幾何概型公式求解． 【嘗試解答】　由得或 故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)， ∴陰影部分的面積為 S＝(－x2)dx＝＝， 而正方形的面積為1，故所求的概率P＝＝. 【答案】　 規(guī)律方法2　(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域. 對點(diǎn)訓(xùn)練　如圖10－6－4， 圖10－6－4 矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直線x＝a(a∈(0，π))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則a的值是________． 【解析】　sin xdx＝－cos x＝1－cos a＝a＝，∴cos a＝－，∴a＝. 【答案】　 考向三 [188]　與體積有關(guān)的幾何概型 　在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)在球O的內(nèi)接正方體中的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【思路點(diǎn)撥】　先根據(jù)球的內(nèi)接正方體的體對角線長即為球的直徑求出邊長，然后分別求出球和正方體的體積，最后利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可． 【嘗試解答】　設(shè)球的半徑為R，則球O的內(nèi)接正方體的體對角線為2R 根據(jù)邊長為a的正方體的體對角線長為a，可知正方體的體對角線為2R，則正方體的邊長為＝ 球的體積為，球O的內(nèi)接正方體的體積為3＝ ∴在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)在球O的內(nèi)接正方體中的概率是＝ 【答案】　C 規(guī)律方法3　求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，從而正確選擇合理的測度，進(jìn)而利用概率公式求解. 對點(diǎn)訓(xùn)練　一只小蜜蜂在一個(gè)棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體中心的距離不超過1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】　正方體的體積為64，與正方體中心的距離不超過1構(gòu)成半徑為1的球，體積為，即P＝＝，故選B. 【答案】　B 規(guī)范解答之二十二　概率與函數(shù)相結(jié)合的綜合問題 ————[1個(gè)示范例]————[1個(gè)規(guī)范練]———— 　　　(12分)(xx濰坊模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率； (2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)， 求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 【規(guī)范解答】　(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且≤1，即2b≤a.2分 若a＝1，則b＝－1； 若a＝2，則b＝－1或1； 若a＝3，則b＝－1或1. ∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1＋2＋2＝5.5分 而滿足條件的數(shù)對(a，b)共有35＝15個(gè) ∴所求事件的概率為＝.6分 (2)由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時(shí)， 函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，8分 依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? 構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切?9分 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為，10分 ∴所求事件的概率為P＝＝.12分 【名師寄語】　本例中先將f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足條件2b≤a且a＞0，然后再聯(lián)系已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的逐步遷移，這種轉(zhuǎn)化遷移的思想值得注意，另外，對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在某一區(qū)間[m，＋∞)上單調(diào)遞增的充要條件是切勿漏掉a＞0. 已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－8bx＋1 設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 【解】　(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－8bx＋1的圖象的對稱軸為x＝. ∴要使f(x)＝ax2－8bx＋1在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且≤2，即2b≤a，且a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－8bx＋1在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)， 依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋海? 對應(yīng)圖中的△AOC及其內(nèi)部，其中A(6,0)，C(0,6) 而構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)椤鰽OB部分及其內(nèi)部，如圖所示． 由解得交點(diǎn)為B(4,2)． ∴函數(shù)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)的概率為P＝＝＝.