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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第二節(jié) 不等式的證明課時作業(yè) 理（選修4-5）
一、填空題
1．設a>b>0，m＝－，n＝，則m與n的大小關系是________．
解析：∵a>b>0，∴m＝－>0，n＝>0.
∵m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b)
＝2b－2＝2(－)<0，
∴m2
”、“<”、“＝”)．
解析：x2＝(＋)2＝(a＋b＋2)，
y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)≥(a＋b＋2)>(a＋b＋2)．又x>0，y>0，∴y>x.
答案：>
3．已知a、b、c、d均為正數(shù)，且a2＋b2＝4，cd＝1，則(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)的最小值為________．
解析：(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)＝(a2c2＋b2d2)(a2d2＋b2c2)≥(a2cd＋b2cd)2＝(a2＋b2)2＝42＝16.
答案：16
4．若a，b均為正實數(shù)，且a≠b，M＝＋，N＝＋，則M、N的大小關系為________．
解析：∵a≠b，∴＋>2，＋>2，
∴＋＋＋>2＋2，
∴＋>＋.即M>N.
答案：M>N
5．若直線3x＋4y＝2，則x2＋y2的最小值為________，最小值點為________．
解析：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
當且僅當＝時等號成立，為求最小值點，
需解方程組∴
因此，當x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點為.
答案：
6．記S＝＋＋＋…＋，則S與1的大小關系是________．
解析：∵<，<，…，
＝<，
∴S＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1.
答案：S<1
7．若x＋2y＋4z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：∵1＝x＋2y＋4z≤，
∴x2＋y2＋z2≥，當且僅當x＝＝，
即x＝，y＝，z＝時x2＋y2＋z2的最小值為.
答案：
8．以下三個命題：①若|a－b|<1，則|a|<|b|＋1；②若a、b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|<2，|y|>3，則||<，其中正確命題的序號是________．
解析：①|(zhì)a|－|b|≤|a－b|<1，所以|a|<|b|＋1；
②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，
所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
③|x|<2，|y|>3，所以<，因此<.
∴①②③均正確．
答案：①②③
9．若正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________．
解析：由柯西不等式可得(3a＋2＋3b＋2＋3c＋2)≥(＋＋)2，即
9≥9，所以＋＋≥1(當且僅當a＝b＝c時取等號)．
答案：1
二、解答題
10．(1)設x，y是不全為零的實數(shù)，試比較2x2＋y2與x2＋xy的大小；
(2)設a，b，c為正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝1，求證：＋＋－≥3.
解：(1)解法1：2x2＋y2－(x2＋xy)＝x2＋y2－xy＝2＋y2.
∵x，y是不全為零的實數(shù)，
∴2＋y2>0，即2x2＋y2>x2＋xy.
解法2：當xy<0時，x2＋xy<2x2＋y2；
當xy>0時，作差：x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy>0；
又x，y是不全為零的實數(shù)，
∴當xy＝0時，2x2＋y2>x2＋xy.
綜上，2x2＋y2>x2＋xy.
(2)證明：當a＝b＝c時，取得等號3.
作差比較：＋＋－－3
＝＋＋－－3
＝a2＋b2＋c2－2
＝a22＋b22＋c22>0.
∴＋＋－≥3.
11．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集為M.
(1)求M；
(2)當a，b∈M時，證明：2|a＋b|<|4＋ab|.
解：(1)f(x)<4，即|x＋1|＋|x－1|<4，
當x≤－1時，－x－1＋1－x<4，得x>－2，
∴－20,4－b2>0，
∴(4－a2)(4－b2)>0，即16－4a2－4b2＋a2b2>0，
也就是4a2＋4b2<16＋a2b2，
∴4a2＋8ab＋4b2<16＋8ab＋a2b2，
即(2a＋2b)2<(4＋ab)2，即2|a＋b|<|4＋ab|.
1．設不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M.
(1)證明：<；
(2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由．
解：(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2<－2x－1<0，解得－0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.
2．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)∵f(x＋2)＝m－|x|，
∴f(x＋2)≥0等價于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0且其解集為{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1.
(2)證明：由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)，
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
當且僅當a＝2b＝3c＝時，等號成立．因此a＋2b＋3c≥9.
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