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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第四講 不等式的解法 初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法．高中階段將進一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識．本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識． 一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式． 【例1】解不等式． 分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號法則 --- 正正(負負)得正、正負得負”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組． 解：原不等式可以化為：， 于是：或 所以，原不等式的解是． 說明：當(dāng)把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個一次因式，即可運用本題的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2) 分析：要先將不等式化為的形式，通常使二次項系數(shù)為正數(shù)． 解：(1) 原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是． (2) 原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是． 2．一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡稱：三個二次)． 以二次函數(shù)為例： (1) 作出圖象； (2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點是，即當(dāng)時，．就是說對應(yīng)的一元二次方程的兩實根是． (3) 當(dāng)時，，對應(yīng)圖像位于軸的上方．就是說的解是． 　當(dāng)時，，對應(yīng)圖像位于軸的下方．就是說的解是． 一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下： (1) 將二次項系數(shù)先化為正數(shù)； (2) 觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象． ①如果圖象與軸有兩個交點，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ． 那么(圖1)： ②如果圖象與軸只有一個交點，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ． 那么(圖2)： 無解 ③如果圖象與軸沒有交點，此時對應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)根 (也可由根的判別式來判斷) ． 那么(圖3)： 取一切實數(shù) 無解 如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理： (1) 化二次項系數(shù)為正； (2) 若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)； (3) 否則，對二次三項式進行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負數(shù)的性質(zhì)求解． 【例3】解下列不等式： (1) (2) (3) 解：(1) 不等式可化為 ∴ 不等式的解是 (2) 不等式可化為 ∴ 不等式的解是 (3) 不等式可化為． 【例4】已知對于任意實數(shù)，恒為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 解：顯然不合題意，于是： 【例5】已知關(guān)于的不等式的解為，求的值． 分析：對應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解． 解：由題意得： 說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，，且注意，從而． 二、簡單分式不等式的解法 【例6】解下列不等式： (1) (2) 分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解． (2) 注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù)． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化為： 解法(二) 原不等式可化為：． (2) ∵ 原不等式可化為： 【例7】解不等式 解：原不等式可化為： 說明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)?． (2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號： 三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式 一元一次不等式最終可以化為的形式． (1) 當(dāng)時，不等式的解為：； (2) 當(dāng)時，不等式的解為：； (3) 當(dāng)時，不等式化為：； ① 若，則不等式的解是全體實數(shù)；② 若，則不等式無解． 【例8】求關(guān)于的不等式的解． 解：原不等式可化為： (1) 當(dāng)時，，不等式的解為； (2) 當(dāng)時，． ① 時，不等式的解為； ② 時，不等式的解為； ③ 時，不等式的解為全體實數(shù)． (3) 當(dāng)時，不等式無解． 綜上所述：當(dāng)或時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為全體實數(shù)；當(dāng)時，不等式無解． 練：解不等式（1） （2） 【例9】已知關(guān)于的不等式的解為，求實數(shù)的值． 分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時，才有形如的解，從而令． 解：原不等式可化為：． 所以依題意：． 練 習(xí) A 組 1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式： (1) (2) 4．已知不等式的解是，求的值． 5．解關(guān)于的不等式． 6．已知關(guān)于的不等式的解是，求的值． 7．已知不等式的解是，求不等式的解． B 組 1．已知關(guān)于的不等式的解是一切實數(shù)，求的取值范圍． 2．若不等式的解是，求的值． 3．解關(guān)于的不等式． 4．取何值時，代數(shù)式的值不小于0？ 5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解． 第四講 不等式答案 A 組 1． 2． 3．(1) 無解 (2) 全體實數(shù) 4．． 5．(1)當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，；(3) 當(dāng)時，取全體實數(shù)． 6． 7． B 組 1． 2． 3．(1) 時，；(2) 時，無解；(3) 時，． 4．． 5．．