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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 知識模板復(fù)習(xí)講義 解三角形 蘇教版必修5 三角形有三條邊和三個(gè)角六個(gè)元素. 由三角形的幾何性質(zhì)知道, 要確定一個(gè)三角形, 必須給定一條邊和其它另兩個(gè)元素, 這種由三角形的一邊及其它兩個(gè)元素, 去計(jì)算或確定未知的邊、角的過程，叫做解三角形. 解直角三角形, 只要利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理, 即可求出其它元素. 但解斜三角形需要應(yīng)用三角函數(shù)的定義, 并且要利用揭示三角形邊角關(guān)系的兩個(gè)重要定理------正弦定理和余弦定理. 其中正弦定理與三角形內(nèi)角和定理彼此獨(dú)立, 共同構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式組: 余弦定理中任何兩個(gè)關(guān)系式彼此獨(dú)立, 它們連同三角形內(nèi)角和定理共同構(gòu)成另一個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式組: 利用這些關(guān)系式組中的任一個(gè), 可以推導(dǎo)出其它一些重要的定理. 例如, 可從正弦定理推導(dǎo)出余弦定理, 可從余弦定理推導(dǎo)出正弦定理, 但無論是正弦定理還是余弦定理都不能推導(dǎo)出三角形內(nèi)角和定理. 解任意三角形, 有下列四種類型, 其解法可表示如下: 已知條件 解 法 一解 無解 無解 一解 一解 以及方程組 1872年, 德國數(shù)學(xué)家克萊因(Felix.Klein,1849-1925)在愛爾蘭根大學(xué)就任教授. 他的就職演說題為“對于近代幾何學(xué)的考察”. 其中給出了幾何學(xué)的一種定義;“給出一個(gè)流形和作用于這個(gè)流形的一個(gè)變換群， 建立關(guān)于這個(gè)變換群的不變性理論.”根據(jù)這一理論, 把當(dāng)時(shí)互不相關(guān)的幾何學(xué)統(tǒng)一起來 并依次加以分類. 這一劃時(shí)代的演說, 世稱“愛爾蘭根綱領(lǐng)“. 時(shí)至今日, 尋求不變量的思想, 已經(jīng)滲入到幾乎整個(gè)的數(shù)學(xué). 從研究射影不變量, 到拓?fù)洳蛔兞? 相對論中的羅侖茲不變量, 纖維叢中的陳省身不變量(陳類), 都是影響數(shù)學(xué)全局的大事. F.克萊因在20世紀(jì)初關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)改革, 擔(dān)任第一屆”數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)”的主席. 他的幾何變換思想也逐漸滲透到中學(xué)數(shù)學(xué). 在20世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育改革歷程中, 幾何學(xué)課程受到變換幾何思想越來越大的影響. 變換幾何有什么值得肯定的地方呢? 1. 變換使得幾何學(xué)由靜態(tài)轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài). 幾何學(xué)不再僅僅是對靜止圖形的觀察、思考和論證. 變換幾何的對象可以操作, 例如軸對稱和折紙等; 2. 變換是學(xué)生認(rèn)識圖形的工具. 通過軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、中心對稱，以及相似、位似等變換，可以對矩陣、正三角形、等腰三角形、平行四邊形、菱形等常見圖形有更深刻的認(rèn)識. 3. 變換可以作為論證的一種手段. 三角形的全等, 是用合同變換來實(shí)現(xiàn)的. 尺規(guī)作圖, 是將已知的線段和角, 進(jìn)行移動(dòng). 在論證上也帶來很大方便. 例如等腰三角形的性質(zhì), 用對稱很容易說明. 再如, 圓外一點(diǎn)向定圓作兩條切線,彼此一定相等. 這是可以用圓的對稱性加以說明的. 由于以上的優(yōu)點(diǎn), 中學(xué)數(shù)學(xué)里逐漸增加了變換的內(nèi)容. 目前主要包括以下部分: 1. 軸對稱圖形; 2. 平移和旋轉(zhuǎn); 3. 相似變換; 4. 拓?fù)渥儞Q(七橋問題, 多面體定理). 但是, 將幾何變換納入中學(xué)課程, 仍有不少問題需要克服. 主要是變換觀點(diǎn)和傳統(tǒng)歐氏演繹幾何還沒有十分密切的銜接, 有時(shí)變成兩張皮, 徒然增加學(xué)習(xí)者的負(fù)擔(dān). 此外, 幾何變換的論證語言還沒有規(guī)范, 在論證一個(gè)命題時(shí), 敘述的隨意性比較大. 最后, 缺乏足夠數(shù)量的例題和習(xí)題, 也是制約變換幾何的一個(gè)困難. 平面幾何主要研究全等形和相似形, 全等形和相似形的性質(zhì)和有關(guān)的量,分別是在合同變換群和相似變換群下圖形的不變性質(zhì)和不變量. 定義1 從一個(gè)集合到其自身的映射, 叫做變換. 如果是一一映射, 則叫做一一變換. 所謂幾何變換, 就是圖形(即點(diǎn)集)到圖形的一一變換. 容易證明,變換的乘積滿足結(jié)合律. 必須注意,變換的乘積不一定滿足交換律. 顯然一一變換的逆變換也是一一變換. 定義6 經(jīng)過一個(gè)變換,沒有改變位置的點(diǎn)，叫做二重點(diǎn)，或稱不變點(diǎn)。經(jīng)過一個(gè)變換,沒有改變位置的直線，叫做二重線，或稱不變線。 顯然，若集合G構(gòu)成一個(gè)變換群,則必包含恒等變換I. 綜上所述,變換的乘積已滿足結(jié)合律, 可見, 這里關(guān)于變換群的定義, 雖然只提出滿足的兩個(gè)條件,而實(shí)質(zhì)上, 它已符合近世代數(shù)中關(guān)于群的定義(應(yīng)滿足四個(gè)條件:即條件(3),這里的G中包含I;條件(4),這里的G滿足結(jié)合律). 變換群和幾何學(xué) Klein認(rèn)為,有一個(gè)變換群,就有相應(yīng)的一門幾何學(xué). 這就是說, 每一種幾何學(xué)都可以看成是在某種變換群下幾何圖形不變性質(zhì)和不變量的科學(xué)體系. 就初等幾何學(xué)來說, 它既然是研究不同地點(diǎn)同一圖形的性質(zhì), 而這些不同地點(diǎn)的同一圖形是由一個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的,那么,當(dāng)然也可以用運(yùn)動(dòng)使在不同地點(diǎn)的同一圖形“疊合”在一起. “疊合”是一個(gè)原始概念，它的本質(zhì)屬性是通過公理化方法來闡明的。“疊合”必須滿足下面的公理： 那么，為了疊合目的而施行的圖形運(yùn)動(dòng)，就必須滿足下列三個(gè)條件： （1） 恒等變換是一種運(yùn)動(dòng)； （2） 運(yùn)動(dòng)之逆變換還是運(yùn)動(dòng)； （3） 運(yùn)動(dòng)施行兩次，所得的變換，還是運(yùn)動(dòng)。 根據(jù)變換群的意義，運(yùn)動(dòng)所成的集合（即可滿足上述三個(gè)條件），形成一個(gè)“群”，稱為運(yùn)動(dòng)變換群。因此，可以說初等幾何學(xué)是研究圖形在運(yùn)動(dòng)變換群下不變性質(zhì)的科學(xué). 其他的幾何學(xué), 也就是研究在相應(yīng)的變換群下不變性質(zhì)的科學(xué). 這就是Klein把幾何學(xué)和變換群聯(lián)系起來, 給幾何學(xué)下的一個(gè)普遍性的定義. 從變換群的觀點(diǎn)來看, 與初中平面幾何內(nèi)容最為密切的變換是合同變換和相似變換, 它們各自形成一個(gè)“群”. 它們的定義,性質(zhì)與應(yīng)用在下面予以介紹.