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2019年高中數(shù)學(xué) 2.2.2 間接證明課后知能檢測 蘇教版選修2-2 一、填空題 1．(xx南京師大附中高二檢測)用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個角不大于60”時，正確的反設(shè)是________． 【解析】　“至少有一個角不大于60”的否定為“所有三角形的內(nèi)角均大于60”． 【答案】　假設(shè)三個內(nèi)角均大于60 2．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)________． 【解析】　“異面”的否定為“共面”． 【答案】　b與c共面 3．反證法證明“兩條相交直線有且只有一個交點”時，一般情況下先證存在性，再用反證法證明________． 【解析】　“有且只有”有兩點：①存在性　②惟一性． 【答案】　惟一性 4．命題“a，b是實數(shù)，若|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1”用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為________． 【解析】　“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”， 又因“p且q”的否定為“綈p或綈q”， 所以“a＝b＝1”的否定為“a≠1或b≠1”． 【答案】　a≠1或b≠1 5．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　若兩個方程均無實根，則 解得 ∴－2＜a＜－1. 因此兩方程至少有一個有實根時，應(yīng)有a≤－2或a≥－1. 【答案】　{a|a≤－2或a≥－1} 6．完成反證法證題的全過程． 題目：設(shè)a1，a2，…，a7是由數(shù)字1，2，…，7任意排成的一個數(shù)列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a2－7)為偶數(shù)． 證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)．① 因7個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)為________．② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________．③ ②與③矛盾，故p為偶數(shù)． 【解析】　由假設(shè)p為奇數(shù)，知 a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)． 故(a1－1)＋(a2－7)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數(shù)． 這與0為偶數(shù)矛盾． 【答案】　a1－1，a2－2，…，a7－7　奇數(shù)　0 7．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a＋，b＋，c＋與2的大小關(guān)系是________． 【解析】　假設(shè)a＋，b＋，c＋均小于2， 則a＋＋b＋＋c＋＜6.① 又∵a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2， ∴a＋＋b＋＋c＋≥6，② ①與②矛盾，∴假設(shè)不成立 ∴a＋，b＋，c＋至少有一個不小于2. 【答案】　a＋，b＋，c＋至少有一個不小于2 8．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎”．四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是________． 【解析】　假設(shè)甲獲獎，則四人說的話都錯，不合題意，假設(shè)乙獲獎，則甲、乙、丁三人的話都對，不合題意；假設(shè)丙獲獎，則恰有甲、丙二人的話對，故獲獎的歌手是丙． 【答案】　丙 二、解答題 9．已知a，b，c是不全相等的非零實數(shù)，若a，b，c成等差數(shù)列，求證：，，構(gòu)不成等差數(shù)列． 【證明】　假設(shè)，，構(gòu)成等差數(shù)列， 則＝＋＝.① 由于a，b，c成等差數(shù)列，故2b＝a＋c.② ①②消去b，整理可得(a－c)2＝0，即a＝c， 所以2b＝a＋c＝2a，即a＝b，則a＝b＝c. 這與a，b，c不全相等矛盾． 故，，構(gòu)不成等差數(shù)列． 10．若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋，求證：a，b，c中至少有一個大于0. 【證明】　假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0， 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c>0.這與a＋b＋c≤0矛盾， 所以a，b，c中至少有一個大于0. 圖2－2－4 11．如圖2－2－4所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90，A在平面PBC上的射影為H，求證：H不可能是△PBC的垂心． 【證明】　假設(shè)H是△PBC的垂心，連CH，則CH⊥PB. ∵CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A， ∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB， 從而在△BCP中，有CH∥CB，與CH∩CB＝C矛盾． ∴假設(shè)不成立． 故H不可能是△PBC的垂心．