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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 第2講 數(shù)列的應(yīng)用素能訓(xùn)練（文、理） 一、選擇題 1．(xx重慶模擬)設(shè){an}是等比數(shù)列，函數(shù)y＝x2－x－xx的兩個零點是a2、a3，則a1a4＝(　　) A．xx　　　　　　　 B．1 C．－1 D．－xx [答案]　D [解析]　由條件得，a1a4＝a2a3＝－xx. 2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2＋n，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，則T9等于(　　) A.　　 　 B.　 　　 C.　 　　 D. [答案]　D [解析]　∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2＋n，∴n＝1時，a1＝2；n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝2n(n∈N*)，∴bn＝＝＝(－)，T9＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝. 3．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)前20項的和為(　　) A．305 B．315 C．325 D．335 [答案]　D [解析]　∵f(1)＝，f(2)＝＋， f(3)＝＋＋，…， f(n)＝＋f(n－1)， ∴{f(n)}是以為首項，為公差的等差數(shù)列． ∴S20＝20＋＝335. 4．等差數(shù)列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn為其前n項和，對任意自然數(shù)n，若點(n，Sn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線應(yīng)是(　　) [答案]　C [解析]　∵Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以點(n，Sn)所在拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)． [點評]　可取特殊數(shù)列驗證排除，如an＝3－n. 5．(文)已知函數(shù)f(x)＝log2x，等比數(shù)列{an}的首項a1>0，公比q＝2，若f(a2a4a6a8a10)＝25，則2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(axx)等于(　　) A．21004xx B．21005xx C．210052011 D．210062011 [答案]　D [解析]　f(a2a4a6a8a10) ＝log2(a2a4a6a8a10)＝log2(aq25)＝25， 即aq25＝225， 又a1>0，q＝2，故得到a1＝1. 2f(a1)＋f(a2)＋…＋f(axx)＝2f(a1)2f(a2)…2f(axx) ＝2log2a12log2a2…2log2axx ＝a1a2…axx＝aq1＋2＋…＋2011 ＝1xx2＝210062011.故選D. (理)(xx成都市二診)已知數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cos2，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項和為(　　) A．0　　　 B．－9　　 　 C．9　　　 D．1 [答案]　C [解析]　據(jù)已知得2an＋1＝an＋an＋2，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又f(x)＝sin2x＋2＝sin2x＋1＋cosx，因為a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，故cosa1＋cosa9＝cosa2＋cosa8＝…＝cosa5＝0，又2a1＋2a9＝2a2＋2a8＝…＝4a5＝2π，故sin2a1＋sin2a9＝sin2a2＋sin2a8＝…＝sin2a5＝0，故數(shù)列{yn}的前9項之和為9，故選C. 6．(文)(xx遼寧協(xié)作聯(lián)校三模)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝xxsin，則a1＋a2＋…＋axx＝(　　) A．xx B．xx C．xx D．xx [答案]　C [解析]　數(shù)列{an}的周期為4，且a1＋a2＋a3＋a4＝xx(sin＋sinπ＋sin＋sin2π)＝0， 又∵xx＝4503＋2， ∴a1＋a2＋…＋axx＝a1＋a2＝xxsin＋xxsinπ＝xx. (理)已知an＝，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，關(guān)于an及Sn的敘述正確的是(　　) A．a(chǎn)n與Sn都有最大值 B．a(chǎn)n與Sn都沒有最大值 C．a(chǎn)n與Sn都有最小值 D．a(chǎn)n與Sn都沒有最小值 [答案]　C [解析]　畫出an＝的圖象， 點(n，an)為函數(shù)y＝圖象上的一群孤立點，(，0)為對稱中心，S5最小，a5最小，a6最大 二、填空題 7．植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10m.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為________(m)． [答案]　xx [解析]　設(shè)放在第x個坑邊，則 S＝20(|x－1|＋|x－2|＋…＋|20－x|) 由式子的對稱性討論，當(dāng)x＝10或11時， S＝xx. 當(dāng)x＝9或12時，S＝20102＝2040，…，當(dāng)x＝1或19時，S＝3800. ∴Smin＝xx(m)． 8．(xx廣東理，13)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝________. [答案]　50 [解析]　∵a10a11＋a9a12＝2e5，∴a1a20＝e5. 又∵lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)] ＝ln(e5)10＝lne50＝50. 注意等比數(shù)列性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，對數(shù)的性質(zhì)logamn＝nlogam. 三、解答題 9．(xx天津理，19)已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值． [解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3， 于是q2＝＝. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－. 故等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－)n－1＝(－1)n－1. (2)由(1)得 Sn＝1－(－)n＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小， 所以1Sn－≥S2－＝－＝－. 綜上，對于n∈N*，總有－≤Sn－≤. 所以數(shù)列{Tn}最大項的值為，最小項的值為－. 10．(文)(xx唐山市二模)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝＋＋…＋，試比較bn＋1與bn的大小，并說明理由． [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得 注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1. 所以an＝n＋1.(n∈N＋)． (2)由(1)可知 bn＝＋＋…＋，bn＋1＝＋＋…＋， 因為bn＋1－bn＝＋－＝－＞0， 所以bn＋1>bn. (理)(xx呼和浩特市二調(diào))等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝－，求數(shù)列{nan}的前n項和Tn. [解析]　(1)由已知得2S3＝S1＋S2， ∴2(a1＋a2＋a3)＝a1＋(a1＋a2)， ∴a2＋2a3＝0，an≠0， ∴1＋2q＝0，∴q＝－. (2)∵a1－a3＝a1(1－q2)＝a1(1－)＝a1＝－， ∴a1＝－2，∴an＝(－2)(－)n－1＝(－)n－2， ∴nan＝n(－)n－2. ∴Tn＝1(－)－1＋2(－)0＋3(－)1＋…＋n(－)n－2，① ∴－Tn＝1(－)0＋2(－)1＋3(－)2＋…＋n(－)n－1，② ①－②得 Tn＝－2＋[(－)0＋(－)1＋(－)2＋…＋(－)n－2]－n(－)n－1 ＝－－(－)n－1(＋n)， ∴Tn＝－－(－)n－1(＋n). 一、選擇題 11．(文)設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　) A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) [答案]　A [解析]　設(shè)f(x)＝kx＋1(k≠0)，則(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)?k＝2， f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(22＋1)＋(24＋1)＋(261)＋…＋(22n＋1)＝2n2＋3n. (理)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且每一項都是正數(shù)，若a1、a49是2x2－7x＋6＝0的兩個根，則a1a2a25a48a49的值為(　　) A. B．9 C．9 D．35 [答案]　B [解析]　∵{an}是等比數(shù)列，且a1，a49是方程2x2－7x＋6＝0的兩根， ∴a1a49＝a＝3.而an>0，∴a25＝. ∴a1a2a25a48a49＝a＝()5＝9，故選B. 12．(xx哈三中二模)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－18，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項的和等于(　　) A．160 B．180 C．200 D．220 [答案]　C [解析]　∵a1＋a2＋a3＝－18，a18＋a19＋a20＝78， ∴(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝60， ∴a1＋a20＝20，∴S20＝＝1020＝200. 13．(xx福建理，6)閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k＝10，則該算法的功能是(　　) A．計算數(shù)列{2n－1}的前10項和 B．計算數(shù)列{2n－1}的前9項和 C．計算數(shù)列{2n－1}的前10項和 D．計算數(shù)列{2n－1}的前9項和 [答案]　A [解析]　由框圖結(jié)合k＝10可知此框圖進(jìn)行了10次運(yùn)算，結(jié)果為1＋2＋4＋9＋…＋29，故選A. 二、填空題 14．(xx河北名校名師俱樂部模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a3＝________. [答案]　 [解析]　解法1：∵S6＝4S3，∴a4＋a5＋a6＝3(a1＋a2＋a3)＝(a1＋a2＋a3)q3， ∴q3＝3，∴q＝，∴a3＝a1q2＝. 解法2：∵a1＝1，S6＝4S3，∴＝， ∴1＋q3＝4， ∴q3＝3，∴q＝，∴a3＝a1q2＝. 15．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a⊥b，則數(shù)列{}的最大項的值為________． [答案]　 [解析]　∵a⊥b，∴ab＝2Sn－n(n＋1)＝0， ∴Sn＝，∴an＝n， ∴＝＝，當(dāng)n＝2時，n＋取最小值4，此時取到最大值. 三、解答題 16．(xx沈陽市質(zhì)檢)在△ABC中，角A、B、C的對應(yīng)邊分別是a、b、c，滿足b2＋c2＝bc＋a2. (1)求角A的大?。? (2)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，若a1cosA＝1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，求{}的前n項和Sn. [解析]　(1)∵b2＋c2－a2＝bc， ∴＝＝， ∴cosA＝， 又∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)設(shè){an}的公差為d，由已知得a1＝＝2， 且a＝a2a8， ∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，且d不為零， ∴d＝2， ∴an＝2n. ∴＝＝－， ∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)…＋(－)＝1－＝. 17．(文)定義：若數(shù)列{An}滿足An＋1＝A，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝2x2＋2x的圖象上，其中n為正整數(shù)． (1)證明：數(shù)列{2an＋1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg(2an＋1)}為等比數(shù)列； (2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn，即Tn＝(2a1＋1)(2a2＋1)…(2an＋1)，求Tn關(guān)于n的表達(dá)式； (3)記bn＝log2an＋1Tn，求數(shù)列{bn}的前n項之和Sn，并求使Sn>xx成立的n的最小值． [解析]　(1)證明：由題意得an＋1＝2a＋2an， ∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2. 所以數(shù)列{2an＋1}是“平方遞推數(shù)列”． 令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn. 因為lg(2a1＋1)＝lg5≠0， 所以＝2. 所以數(shù)列{lg(2an＋1)}為等比數(shù)列． (2)由(1)知lg(2an＋1)＝(lg5)2n－1， ∴2an＋1＝10(lg5)2n－1＝52n－1， ∴Tn＝520521522…52n－1＝520＋21＋…＋2n－1＝52n－1. (3)∵bn＝log2an＋1Tn＝＝2－()n－1， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n－ ＝2n－2＋， 由2n－2＝xx得n＝1007， ∴S1006＝21006－2＋∈(xx,2011)，S1007＝21007－2＋∈(xx,xx)． 故使Sn>xx成立的n的最小值為1007. (理)已知曲線C：xy＝1，過C上一點An(xn，yn)作一斜率為kn＝－的直線交曲線C于另一點An＋1(xn＋1，yn＋1)，點列{An}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}，其中x1＝. (1)求xn與xn＋1的關(guān)系式； (2)令bn＝＋，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (3)若cn＝3n－λbn(λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立． [分析]　(1)由直線方程點斜式建立xn與yn關(guān)系，而(xn，yn)在曲線xy＝1上，有xnyn＝1，消去yn得xn與xn＋1的關(guān)系；(2)由定義證為常數(shù)；(3)轉(zhuǎn)化為恒成立的問題解決． [解析]　(1)過點An(xn，yn)的直線方程為y－yn＝－(x－xn)， 聯(lián)立方程，消去y得 x2－x＋1＝0. 解得x＝xn或x＝. 由題設(shè)條件知xn＋1＝. (2)證明：＝ ＝＝＝＝－2. ∵b1＝＋＝－2≠0，∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列． (3)由(2)知，bn＝(－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，由cn＋1－cn＝[3n＋1－λ(－2)n＋1]－[3n－λ(－2)n]＝23n＋3λ(－2)n>0恒成立， 即(－1)nλ>－n－1恒成立． ①當(dāng)n為奇數(shù)時，即λ－n－1恒成立， 又－n－1的最大值為－，∴λ>－， 即－<λ<1.又λ為非零整數(shù)， ∴λ＝－1，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn.