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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 概率 1．(xx江西高考)擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】　點數(shù)之和為5的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4種， ∴P＝＝. 【答案】　B 2．(xx湖南高考)在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　[－2,3]的區(qū)間長度為5，滿足x≤1的區(qū)間長度為3， ∴p＝，故選B. 【答案】　B 3．(xx遼寧高考) 若將一個質(zhì)點隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵半圓的面積π1＝，SABCD＝2，∴P＝，故選B. 【答案】　B 4．(xx陜西高考)某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下： 賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率． 【解】　(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.11 000＝100輛，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2120＝24輛，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24. 從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點考向為： 1．古典概型 ①古典概型是高考重點考查的概率模型，常與統(tǒng)計結(jié)合起來考查． ②既可以以選擇題、填空題的形式考查，屬中檔題．也可以以解答題的形式考查，也屬于中檔題． 2．幾何概型 ①幾何概型是新課標(biāo)新增內(nèi)容，預(yù)計今后會成為新課標(biāo)高考的增長點，應(yīng)引起高度重視． ②易與解析幾何、線性規(guī)劃等知識交匯命題，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題目． 3．互斥事件與對立事件的概率 ①xx年高考對本講內(nèi)容的考查，小題可能直接考查等可能事件概率的求法；大題可能以對事件的分解，利用分類討論或?qū)α⑹录斫鉀Q問題為主． ②高考試題的考查主觀、客觀題均有，形式上主要是以實際應(yīng)用題為主，結(jié)合基礎(chǔ)知識和方法進(jìn)行運(yùn)算．  【例1】　(xx山東高考)海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測. 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率． 【解】　(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是＝， 所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是： 50＝1,150＝3,100＝2. 所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2. 則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為： {A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}， {B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}， {B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個． 每個樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”， 則事件D包含的基本事件有 {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個． 所以P(D)＝，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為. 【規(guī)律方法】　利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點： (1)關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù)． (2)注意點：①對于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏． ②當(dāng)直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率． [創(chuàng)新預(yù)測] 1．(xx北京東城區(qū)質(zhì)檢)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 【解】　(1)設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛，由題意得，＝，所以n＝2 000，z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車， 因為有分層抽樣，所以＝，解得m＝2， 即抽取了2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，分別記作S1，S2；B1，B2，B3， 則從中任取2輛的所有基本事件為(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)，共10個． 其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個：(S1，B1)，(S1B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，所以從中任取2輛，至少有1輛舒適型轎車的概率為. (3)樣本的平均數(shù)＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9， 那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的數(shù)為9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0這6個數(shù)，又總的個數(shù)為8， 所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為＝0.75. 【例2】　(1)(xx山東臨沂質(zhì)檢)若在區(qū)間[－5,5]內(nèi)任取一個實數(shù)a，則使直線x＋y＋a＝0與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共點的概率為(　　) A.　　　　　　　B. C. D. (2)(xx安徽合肥質(zhì)檢)在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點P，則點P到正方體各面的距離都不小于1的概率為(　　) A. B. C. D. (3)(xx重慶高考)某校早上8∶00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7∶30～7∶50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________(用數(shù)字作答)． 【解析】　(1)若直線與圓有公共點，則圓心(1，－2)到直線的距離d＝＝≤，解得－1≤a≤3，又因為－5≤a≤5，所以由幾何概型的概率計算公式得所求概率P＝＝，故選B. (2)正方體中到各面的距離不小于1的點的集合是一個中心與原正方體中心重合，且棱長為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33＝27，故所求的概率為P＝＝.故選A. (3) 設(shè)小張與小王的到校時間分別為7∶00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示，則總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A＝{x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為1515＝，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)＝＝. 【答案】　(1)B　(2)A　(3) 【規(guī)律方法】　幾何概型的適用條件及求解關(guān)鍵： (1)適用條件：當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解． (2)關(guān)鍵：尋找構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． [創(chuàng)新預(yù)測] 2．(1)在區(qū)間[0,9]上隨機(jī)取一實數(shù)x，則該實數(shù)x滿足不等式1≤log2x≤2的概率為________． (2)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)∵1≤log2x≤2，∴2≤x≤4.∴P＝. (2) 根據(jù)題意作出滿足條件的幾何圖形求解．如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿足條件的概率是. 【答案】　(1)　(2)D 【例3】　(預(yù)測題)一個袋中裝有四個形狀大小安全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機(jī)取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率． 【解】　(1)從袋中隨機(jī)取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個． 從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個． 因此所求事件的概率P＝＝. (2)先從袋中隨機(jī)取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個． 又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝. 故滿足條件n＜m＋2的事件的概率為1－P1＝1－＝. 【規(guī)律方法】　互斥事件與對立事件的適用條件及注意點： 1．當(dāng)所求事件情況較復(fù)雜時，一般要分類計算，即用互斥事件的概率加法公式或考慮其對立事件求解． 2．在解決與互斥事件有關(guān)問題時，首先分清所求事件是由哪些事件組成的，是否具備互斥的條件，一個事件是由幾個互斥事件組成的，做到不重、不漏． 3．當(dāng)所求事件含有“至少”“至多”或分類情況較多時，通?？紤]用對立事件的概率公式求解． [創(chuàng)新預(yù)測] 3．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值； (2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率) 【解】　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為＝1.9(分鐘)． (2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”．將頻率視為概率得 P(A1)＝＝， P(A2)＝＝， P(A3)＝＝. 因為A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以 P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為. [總結(jié)提升] 失分盲點 1．對于古典概型其關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，常用計數(shù)方法是列舉法、列表法或畫樹狀圖法． 2．幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗中的可能結(jié)果不是有限個，它的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，因此它的概率與所在的區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)． 3．對于含有“至少”“至多”型事件概型的求法，可考慮使用對立事件的概率． 答題指導(dǎo) 1．能正確區(qū)分事件的性質(zhì)，能正確判斷所求事件包含的基本事件，能用列舉法計算概率． 2．看到求概率問題，想到求復(fù)雜的互斥事件概率的方法． 方法規(guī)律 1．求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法： ①直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計算； ②間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求得，特別是“至多”或“至少”型題目用間接法就會較簡便． 2．解答概率與統(tǒng)計的綜合問題的關(guān)注點： (1)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率． (2)此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時，要明確基本事件的構(gòu)成. 概率計算中的分解思想 在運(yùn)算中對運(yùn)算對象進(jìn)行分解組合是運(yùn)算能力的主要體現(xiàn)之一，高考中不少問題的計算都要依靠這種分解組合的能力，概率的綜合計算是這個方面的典型問題之一．概率計算題的核心環(huán)節(jié)就是對基本事件進(jìn)行分拆，是互斥事件還是對立事件，需要在概率運(yùn)算前準(zhǔn)確把握． 【典例】　(xx四川高考)一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率． 【解】　(1)由題意，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種． 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B， 則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種． 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. 【規(guī)律感悟】　古典概型的關(guān)鍵是計算基本事件的個數(shù)和所求的目標(biāo)事件含有的基本事件的個數(shù)，在計算時要注意不要重復(fù)也不要遺漏．根據(jù)實際情況對事件進(jìn)行合理的分解，就能把復(fù)雜事件的概率計算轉(zhuǎn)化為一個個簡單事件的概率計算，如P(B)＝1－P().