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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 10.2 雙曲線高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(xx湖北)已知0＜θ＜，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實(shí)軸長(zhǎng)相等　　　　　 B．虛軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．離心率相等 解析：雙曲線C1的離心率e1＝＝＝＝，雙曲線C2的離心率e2＝＝＝＝＝＝，所以e1＝e2，而雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為2a1＝2cos θ，虛軸長(zhǎng)為2b1＝2sin θ，焦距為2c1＝2＝2，雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2＝2sin θ，虛軸長(zhǎng)為2b2＝2sin θtan θ，焦距為2c2＝2＝2＝2tan θ，所以A、B、C均不對(duì)，故選D. 答案：D 2．(xx山東實(shí)驗(yàn)中學(xué))已知△ABP的頂點(diǎn)A、B分別為雙曲線C：－＝1的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線C上，則的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：在△ABP中，由正弦定理得＝＝＝＝，故選A. 答案：A 3．(xx華師附中一模)已知雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則m等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：9y2－m2x2＝1(m>0)?a＝，b＝，取頂點(diǎn)(0，)，一條漸近線為mx－3y＝0， ∵＝?m2＋9＝25， ∴m＝4，故選D. 答案：D 4．(xx荊門一模)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)、F2(，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足＝0，||||＝2，則該雙曲線的方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1，且M為右支上一點(diǎn)， 由已知|MF1|－|MF2|＝2a， ∴||2＋||2－2||||＝4a2. 又∵＝0，∴⊥. ∴4c2－4＝4a2，即b2＝1. 又∵c＝，∴a2＝9. ∴雙曲線方程為－y2＝1，故選A. 答案：A 5．(xx紹興調(diào)研)P為雙曲線－＝1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：易知兩圓圓心為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)．由雙曲線方程知a＝3，b＝4，則c＝5， 故兩圓心恰好為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)． |PM|－|PN|的最大值為如圖所示的情況， 即|PM|－|PN|≤|PF1|＋|F1M|－(|PF2|－|NF2|) ＝|PF1|＋2－|PF2|＋1 ＝2a＋3＝23＋3＝9，故選D. 答案：D 6．(xx黃岡一模)我們把離心率為e＝的雙曲線－＝1(a>0，b>0)稱為黃金雙曲線．給出以下幾個(gè)說法： ①雙曲線x2－＝1是黃金雙曲線； ②若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線； ③若∠F1B1A2＝90，則該雙曲線是黃金雙曲線； ④若∠MON＝90，則該雙曲線是黃金雙曲線． 其中正確的是(　　) A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 解析：①e＝＝ ＝＝，雙曲線是黃金雙曲線． ②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，即e2－e－1＝0，從而e＝，雙曲線是黃金雙曲線． ③|F1B1|2＝b2＋c2，|A2B1|2＝b2＋a2，|F1A2|2＝(a＋c)2，注意到∠F1B1A2＝90，所以b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即b2＝ac，由②可知雙曲線為黃金雙曲線． ④∵|MN|＝，由射影定理知|OF2|2＝|MF2||F2N|，即c2＝，從而b2＝ac，由②可知雙曲線為黃金雙曲線． 答案：D 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．(xx西安一模)已知點(diǎn)P是雙曲線－＝1上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，c為半焦距，△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2切于點(diǎn)M，則|F1M||F2M|＝________. 解析：根據(jù)從圓外一點(diǎn)向圓所引的兩條切線長(zhǎng)相等， |F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝2a， 又|F1M|＋|F2M|＝2c， 解得|F1M|＝a＋c，|F2M|＝c－a，從而|F1M||F2M|＝c2－a2＝b2. 答案：b2 8．(xx荷澤調(diào)研)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．若雙曲線上存在點(diǎn)P，使＝，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________． 解析：∵e＝＝＝＝＝1＋，∵|PF2|>c－a，即e<1＋，∴e2－2e－1<0. 又∵e>1，∴10，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，若∠AOB＝120(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為________． 解析：如圖，由題知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120，∴∠AOF＝60，又OA＝a，OF＝c，∴＝ ＝cos60＝，∴＝2. 答案：2 10．(xx湖南)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為________． 解析：依題意及雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－24a2ccos 30，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故雙曲線C的離心率為. 答案： 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟) 11．(xx南昌模擬)已知雙曲線－＝1(b>a>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e＝2，點(diǎn)M(，)在雙曲線上． (1)求雙曲線的方程； (2)若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且＝0.求＋的值． 解：(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2， 雙曲線方程為－＝1，即3x2－y2＝3a2. ∵點(diǎn)M(，)在雙曲線上， ∴15－3＝3a2.∴a2＝4. ∴所求雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)直線OP的方程為y＝kx(k≠0)， 聯(lián)立－＝1，得 ∴|OP|2＝x2＋y2＝. 則OQ的方程為y＝－x， 有|OQ|2＝＝， ∴＋＝ ＝＝. 12．點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上的一點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求雙曲線的離心率e； (2)過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且＝－，2＋＝0，求雙曲線E的方程． 解：(1)∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. ∵PF1⊥PF2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即5a2＝c2， ∴e＝. (2)由(1)知雙曲線的方程可設(shè)為－＝1，漸近線方程為y＝2x. 設(shè)P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)， ∵＝－3x1x2＝－?x1x2＝， ∵2＋＝0? ∵點(diǎn)P在雙曲線上， ∴－＝1， 化簡(jiǎn)得x1x2＝， ∴＝?a2＝2， ∴雙曲線方程為－＝1. 13．(xx上海高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1. (1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積； (2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ； (3)設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值． 解：(1)雙曲線C1：－y2＝1，左頂點(diǎn)A，漸近線方程為：y＝x. 過點(diǎn)A與漸近線y＝x平行的直線方程為y＝，即y＝x＋1. 解方程組得 ∴所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝. (2)證明：設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b，∵直線PQ與已知圓相切，∴＝1，即b2＝2. 由得x2－2bx－b2－1＝0. 設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則 又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)， ∴＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2 ＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ. (3)證明：當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)， |ON|＝1，|OM|＝，則O到直線MN的距離為. 當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)， 設(shè)直線ON的方程為y＝kx， 則直線OM的方程為y＝－x. 由得∴|ON|2＝. 同理|OM|2＝. 設(shè)O到直線MN的距離為d. ∵(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， ∴＝＋＝＝3，即d＝. 綜上，O到直線MN的距離是定值．