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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 7.4 基本不等式及其應(yīng)用高效作業(yè) 理 新人教A版 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(xx長(zhǎng)春月考)設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，以下不等式： (1)a＋≥2；(2)≥a＋b；(3)≥；(4)a＜|a－b|＋b，其中恒成立的有(　　) A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(2)(4) 解析：根據(jù)基本不等式， 有＝ ≥＝a＋b，故(2)正確；由a＋b≥2，則≤1，兩邊同乘以，得≤，故(3)正確． 答案：B 2．(xx諸城一中月考)若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是(　　) A．18 B．6 C．2 D．3 解析：法一：3a＋3b≥2＝2＝6. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，故3a＋3b的最小值是6. 法二：由a＋b＝2，得b＝2－a， ∴3a＋3b＝3a＋32－a＝3a＋≥2＝6. 當(dāng)且僅當(dāng)3a＝，即a＝1時(shí)等號(hào)成立． 答案：B 3．(xx樺甸一模)已知m＝a＋(a＞2)，n＝()x2－2(x＜0)，則m、n之間的大小關(guān)系是(　　) A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n 解析：∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時(shí)等號(hào)成立)， n＝22－x2<4，∴m＞n. 答案：A 4．(xx延吉二模)不等式＋＋＜0對(duì)滿足a＞b＞c恒成立，則λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．(－∞，4] D．(4，＋∞) 解析：變形λ＞(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)＝1＋＋＋1≥4，(當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)2＝(b－c)2時(shí)，等號(hào)成立)∴λ＞4.故應(yīng)選D. 答案：D 5．(xx萊州模擬)若a＞0，b＞0，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，則2a＋b＋c的最小值為(　　) A.－1 B.＋1 C．2＋2 D．2－2 解析：∵a(a＋b＋c)＋bc＝a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋c)(b＋a)＝4－2， ∴2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2－2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋b＝a＋c＝－1時(shí)取等號(hào)． 答案：D 6．(xx江西紅色六校聯(lián)考)已知a，b∈R＋，且2a＋b＝1，則s＝2－4a2－b2的最大值為(　　) A. B.－1 C.＋1 D. 解析：∵a，b∈R＋，1＝2a＋b≥2，∴≤，≥，∴4a2＋b2≥，－4a2－b2≤－，∴s＝2－4a2－b2≤2－≤，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b時(shí)等號(hào)成立，故選A. 答案：A 二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上) 7．(xx臨汾百題精選)若2y＋4x＝xy(x＞0，y＞0)，則xy的最小值為________． 解析：2≤2y＋4x＝xy(x＞0，y＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)2y＝4x時(shí)“＝”成立，∴xy≥32. 答案：32 8．(xx山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知不等式(x＋y)(＋)≥9，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值是________． 解析：由于x＞0，y＞0， 所以(＋)(x＋y)＝1＋a＋(＋)≥1＋a＋2(當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)“＝”成立)，此不等式恒成立，由題設(shè)1＋a＋2≥9，∴＋1≥3，a≥4，amin＝4. 答案：4 9．(xx陜西)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________． 解析：∵a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝(a2＋b2)mn＋ab(m2＋n2)＝2(a2＋b2)＋ab(m2＋n2)≥2(a2＋b2)＋ab2mn＝2(a＋b)2＝2.當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)，等號(hào)成立． 答案：2 10．(xx許昌模擬)已知a、b、c都是正數(shù)，且a＋2b＋c＝1，則＋＋的最小值是________． 解析：＋＋＝(＋＋)(a＋2b＋c) ＝4＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥6＋4. 答案：6＋4 三、解答題(本大題共3小題，共40分，11、12題各13分，13題14分，寫出證明過(guò)程或推演步驟) 11．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明：∵a，b，c均是正數(shù)， ∴，，均是正數(shù)， ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b. 三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥a＋b＋c. 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值． 解：(1)把a(bǔ)＝2代入f(x)＝x＋中， 得f(x)＝x＋＝x＋1＋－1. 由于x∈[0，＋∞)，所以x＋1＞0，＞0， 所以f(x)≥2－1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝， 即x＝－1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為2－1. (2)因?yàn)閒(x)＝x＋＝x＋1＋－1，(此時(shí)再利用(1)的方法，等號(hào)取不到) 設(shè)x1＞x2≥0，則f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)[1－]． 由于x1＞x2≥0，所以x1－x2＞0，x1＋1＞1，x2＋1≥1， 所以(x1＋1)(x2＋1)＞1，而0＜a＜1， 所以＜1，所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(x)min＝f(0)＝a. 13．(xx賀蘭一中期末)一變壓器的鐵芯截面為正十字型(兩個(gè)全等的長(zhǎng)方形，它們完全重合，把其中一個(gè)長(zhǎng)方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90后而得的組合圖叫正十字型)，為保證所需的磁通量，要求十字應(yīng)具有4 cm2的面積，問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)十字型寬x及長(zhǎng)y，才能使其外接圓的周長(zhǎng)最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節(jié)?。? 解：設(shè)y＝x＋2h，由條件知： x2＋4xh＝4，即h＝， 設(shè)外接圓的半徑為R，即求R的最小值， ∵4R2＝x2＋(2h＋x)2＝2(x2＋2hx＋2h2)， ∴2R2＝f(x)＝x2＋＋＝＋x2＋(0＜x＜2R)， ∴2R2≥＋2＝＋5， 等號(hào)成立時(shí)，x2＝?x＝2， ∴當(dāng)x＝2時(shí)2R2最小，即R最小，從而周長(zhǎng)l最小，此時(shí)x＝2 cm，y＝2h＋x＝(＋1) cm.