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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第25講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.考查用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.3.以向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量定理為載體，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 一、平面向量基本定理 　如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示 1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則ab＝(x1x2，y1y2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)． 2．向量平行的坐標(biāo)表示 (1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0. (2)三點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. 共線向量的坐標(biāo)表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 1．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是(　　) A．①　　　　B．①③　　　C．②③　　　D．①②③ 【解析】 ?、谥?，e2＝2e1，e1與e2共線；③中e1＝4e2，e1與e2共線，故選A. 【答案】　A 2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則2b－a的坐標(biāo)是(　　) A．(3，－4) B．(－3,4) C．(3,4) D．(－3，－4) 【解析】 　2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(－3，－4)． 【答案】　D 3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于(　　) A．5 B．10 C. D．15 【解析】 　∵a∥b，∴4y－40＝0，∴y＝10. 【答案】　B 4．在平行四邊形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，則＝________，＝________. 【解析】 　＝＝－＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，＝－＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)． 【答案】　(1,2)　(0，－1) 5．(xx廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μ c； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】 　顯然命題①②是正確的． 對于③，以a的終點(diǎn)作長度為μ的圓，這個(gè)圓必須和向量λb有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，③是錯(cuò)的，對于命題④，若λ＝μ＝1，|a|＞2時(shí)，與|a|＝|b＋c|≤|b|＋|c|＝2矛盾，則④不正確． 【答案】　B 6．(xx北京高考)向量a，b，c在正方形 圖4－2－1 網(wǎng)格中的位置如圖4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 【解析】 　以向量a的終點(diǎn)為原點(diǎn)，過該點(diǎn)的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)一個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋ μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，則＝4. 【答案】　4 考向一 [074]　平面向量基本定理及其應(yīng)用 　(1)(xx長春模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 圖4－2－2 (2)如圖4－2－2，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)＝a，＝b，若＝2，則＝________(用向量a和b表示)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)以，為基底分別表示，，，根據(jù)平面向量基本定理列方程組求解． (2)＝2―→＝―→借助三角形法則表示. 【嘗試解答】　(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)， 于是得解得 所以λ＋μ＝. (2)由＝2知，AB∥DC且||＝2||，從而||＝2||.∴＝＝(－)＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 【答案】　(1)　(2)a＋ 規(guī)律方法1　1.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于λ，μ的方程組． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量時(shí)，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量．常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題． (2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，在解題時(shí)，注意方程思想的運(yùn)用． 對點(diǎn)訓(xùn)練　(xx江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 【解析】 　由題意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. 【答案】　 考向二 [075]　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 　已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)． 設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求：3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 【思路點(diǎn)撥】　利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系求解． 【嘗試解答】　a＝＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b＝＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c＝＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴＝(9，－18)． 規(guī)律方法2　1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加減、數(shù)乘運(yùn)算的法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，注意方程思想的應(yīng)用. 2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來. 對點(diǎn)訓(xùn)練　如圖4－2－3，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 圖4－2－3 【解】　設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)． 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BCD， 則＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， ＝(1－x，－2－y)． 由＝，得解得 故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)； 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳CBD， 則＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)， ＝(3－x，－1－y)． 由＝，得解得 故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4)； 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BDC， 則＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， ＝(x－1，y＋2)． 由＝，得解得 故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－6)． 綜上，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)或(6,4)或(0，－6)． 考向三 [076]　平面向量共線的坐標(biāo)表示 　(1)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________． (2)(xx青島期中)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，則cos 2α＝(　　) A．－　　　　B.　　　　C．－　　　　D. 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)a與b的關(guān)系，設(shè)出a的坐標(biāo)，再根據(jù)|a|＝2求解； (2)由向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示列出等式，求出sin α后，再利用二倍角公式進(jìn)行求解． 【嘗試解答】　(1)∵a與b的方向相反且b＝(2,1)， ∴設(shè)a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0， 又|a|＝2， ∴4λ2＋λ2＝20，即λ2＝4， 又λ＜0，∴λ＝－2，因此a＝(－4，－2)． (2)∵a＝，b＝(cos α，1)， 又由a∥b可知＝tan αcos α，即sin α＝， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝. 【答案】　(1)(－4，－2)　(2)D 規(guī)律方法3　1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa. 2．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解． 對點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝(　　) A.　　　B.　　　C．1　　　D．2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________． 【解析】 　(1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)， ∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， 由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)， ∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝. (2)因?yàn)椋?3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m)．由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當(dāng)與共線時(shí)，有＝，解得m＝， 故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)實(shí)數(shù)m滿足的條件是m≠. 【答案】　(1)B　(2)m≠ 思想方法之十二　待定系數(shù)法在向量運(yùn)算中的應(yīng)用 根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決． ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)對點(diǎn)練]　———— 　　　如圖4－2－4所示，在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)＝a， 圖4－2－4 ＝b，利用a和b表示向量. 【解】　設(shè)＝ma＋nb，則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. ＝－＝－＝b－a.因?yàn)锳、M、D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使 ＝λ，即(m－1)a＋nb＝－λa＋b. 所以消去λ，得m＋2n＝1，① 同理＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a，因?yàn)镃、M、B三點(diǎn)共線， 所以存在實(shí)數(shù)t，使＝t， 即a＋nb＝t. 所以 消去t，得4m＋n＝1，② 聯(lián)立①②，得m＝，n＝，所以＝a＋b. 圖4－2－5 　如圖4－2－5所示，M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件＋2＋3＝0，延長CM交AB于N，令＝a，試用a表示. 【解】　因?yàn)椋剑?，＝＋? 所以由＋2＋3＝0，得 (＋)＋2(＋)＋3＝0， 所以＋3＋2＋3＝0. 又因?yàn)锳，N，B三點(diǎn)共線，C，M，N三點(diǎn)共線， 由平面向量基本定理，設(shè)＝λ，＝μ， 所以λ＋3＋2＋3μ＝0. 所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 由于和不共線，由平面向量基本定理， 得所以 所以＝－＝，＝＋＝2＝2a.