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2019年高考數(shù)學二輪復習 圓錐曲線的綜合問題專題訓練（含解析）
一、選擇題
1．已知方程＋＝1(k∈R)表示焦點在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是( )
A．k<1或k>3 B．1
1 D．k<3
解析 若橢圓焦點在x軸上，則，解得13) D.－＝1(x>4)
解析
如圖|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3)．
答案 C
3．設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準線相交，則y0的取值范圍是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析 依題意得F(0,2)，準線方程為y＝－2，
又∵以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準線相交，且|FM|＝|y0＋2|，
∴|FM|>4，即|y0＋2|>4，
又y0≥0，∴y0>2.
答案 C
4．若點O和F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析 設P(x0，y0)，則＋＝1，
即y＝3－，又因為F(－1,0)，
所以＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，
又x0∈[－2,2]，即∈[2,6]，
所以()max＝6.
答案 C
5.
已知拋物線y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，過點F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點A，B，C，D(如圖所示)，則|AB||CD|的值正確的是( )
A．等于1 B．最小值是1
C．等于4 D．最大值是4
解析 設直線l：x＝ty＋1，代入拋物線方程，
得y2－4ty－4＝0.
設A(x1，y1)，D(x2，y2)，
根據(jù)拋物線定義|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，
故|AB|＝x1，|CD|＝x2，
所以|AB||CD|＝x1x2＝＝.
而y1y2＝－4，代入上式，
得|AB||CD|＝1，故選A.
答案 A
6．在周長為16的△PMN中，|MN|＝6，則的取值范圍是( )
A．[7，＋∞) B．(0,16)
C．(7,16] D．[7,16)
解析 以MN所在直線為x軸，
以其中點為坐標原點建立平面直角坐標系，
由于|PN|＋|PM|＝10>|MN|＝6，
故點P的軌跡是以M、N為焦點的橢圓(去左、右頂點)，
其方程為＋＝1(y≠0)，
故＝(3－x，－y)(－3－x，－y)＝x2＋y2－9，
將y2＝16代入整理得：＝＋7，
而0≤<1(由于是三角形，因此M，N，P三點不共線)，
故7≤<16.
故選D.
答案 D
二、填空題
7．已知點A(－，0)，點B(，0)，且動點P滿足|PA|－|PB|＝2，則動點P的軌跡與直線y＝k(x－2)有兩個交點的充要條件為k∈________.
解析 由已知得動點P的軌跡為一雙曲線的右支且2a＝2，c＝，則b＝＝1，所以P點的軌跡方程為x2－y2＝1(x>0)，其一條漸近線方程為y＝x.若P點的軌跡與直線y＝k(x－2)有兩個交點，則需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．設F1、F2為橢圓＋y2＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P，Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，的值等于________．
解析 易知當P，Q分別在橢圓短軸端點時，四邊形PF1QF2面積最大．
此時，F(xiàn)1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設P(0,1)，
∴＝(－，－1)，＝(，－1)，
∴＝－2.
答案 －2
9．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y的最小值是________．
解析 (1)當直線的斜率不存在時，直線方程為x＝4，代入y2＝4x，得交點為(4,4)，(4，－4)，∴y＋y＝16＋16＝32.
(2)當直線的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－4)，與y2＝4x聯(lián)立，消去x得ky2－4y－16k＝0，由題意知k≠0，則y1＋y2＝，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.綜合(1)(2)知(y＋y)min＝32.
答案 32
三、解答題
10．設橢圓E：＋＝1的焦點在x軸上．
(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
(2)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a變化時，點P在某定直線上．
解 (1)因為焦距為1，所以2a2－1＝，解得a2＝.
故橢圓E的方程為＋＝1.
(2)設P(x0，y0)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝.
由題設知x0≠c，則直線F1P的斜率kF1P＝，
直線F2P的斜率kF2P＝.
故直線F2P的方程為y＝(x－c)．
當x＝0時，y＝，即點Q坐標為.
因此，直線F1Q的斜率為kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，所以kF1PkF1Q＝＝－1.
化簡得y＝x－(2a2－1)．①
將①代入橢圓E的方程，由于點P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即點P在定直線x＋y＝1上．
11．已知直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x＝分別交于M，N兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求線段MN的長度的最小值．
解
(1)如圖，由題意得橢圓C的左頂點為A(－2,0)，上頂點為D(0,1)，即a＝2，b＝1.
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)直線AS的斜率顯然存在且不為0，
設直線AS的方程為y＝k(x＋2)(k>0)，
解得M，且將直線方程代入橢圓C的方程，
得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
設S(x1，y1)，由根與系數(shù)的關系得(－2)x1＝.
由此得x1＝，y1＝，
即S.
又B(2,0)，則直線BS的方程為y＝－(x－2)，
聯(lián)立直線BS與l的方程解得N.
∴|MN|＝＝＋≥2 ＝.
當且僅當＝，即k＝時等號成立，
故當k＝時，線段MN的長度的最小值為.
B級——能力提高組
1．已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為F1、F2，且兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|＝10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍是( )
A．(0，＋∞) B.
C. D.
解析
設橢圓與雙曲線的半焦距為c，
PF1＝r1，PF2＝r2.
由題意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，
∴2c<10,2c＋2c>10，
∴.
答案 B
2．若C(－，0)，D(，0)，M是橢圓＋y2＝1上的動點，則＋的最小值為________．
解析 由橢圓＋y2＝1，知c2＝4－1＝3，∴c＝，
∴C，D是該橢圓的兩焦點．
令|MC|＝r1，|MD|＝r2，則r1＋r2＝2a＝4，
∴＋＝＋＝＝.
又∵r1r2≤＝＝4，
∴＋＝≥1.
當且僅當r1＝r2時，上式等號成立．
故＋的最小值為1.
答案 1
3.
(xx重慶卷)如圖，設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點D在橢圓上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面積為.
(1)求該橢圓的標準方程；
(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．
解 (1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
由＝2，得|DF1|＝＝c，
從而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1，
從而|DF1|＝.
由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，
因此|DF2|＝.
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，
故a＝，b2＝a2－c2＝1.
因此，所求橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)如圖，設圓心在y軸上的圓C與橢圓＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.
由圓和橢圓的對稱性，易知x2＝－x1，y1＝y(tǒng)2.
由(1)知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，
所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．
再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y＝0.
由橢圓方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，
解得x1＝－或x1＝0.
當x1＝0時，P1，P2重合，題設要求的圓不存在．
當x1＝－時，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C.設C(0，y0)，
由CP1⊥F1P1，得＝－1.
而求得y1＝，故y0＝.
圓C的半徑|CP1|＝ ＝.
綜上，存在滿足題設條件的圓，其方程為x2＋2＝.
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