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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 第4講 二項分布與正態(tài)分布訓(xùn)練 理
一、選擇題
1.甲、乙兩地都位于長江下游,根據(jù)天氣預(yù)報的紀(jì)錄知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,兩市同時下雨占12%.則甲市為雨天,乙市也為雨天的概率為( )
A.0.6 B.0.7
C.0.8 D.0.66
解析 甲市為雨天記為事件A,乙市為雨天記為事件B,則P(A)=0.2,P(B)=0.18,
P(AB)=0.12,
∴P(B|A)===0.6.
答案 A
2. 投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是( )
A. B. C. D.
解析 本題涉及古典概型概率的計算.本知識點在考綱中為B級要求.由題意得P(A)=,P(B)=,則事件A,B至少有一件發(fā)生的概率是1-P()P()=1-=.
答案 C
3.在4次獨立重復(fù)試驗中,隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是 ( ).
A.[0.4,1] B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1]
解析 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,則Cp(1-p)3≤Cp2(1-p)2,解得p≥0.4,故選A.
答案 A
4.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X
1)=1-P(X≤1)=1-0.841 3=0.158 7.
∵X~N(0,1),∴μ=0.
∴P(X<-1)=P(X>1)=0.158 7,
∴P(-11)=0.682 6.
∴P(-1σ)
=2P(X-μ<-σ)+0.682 6=1,
∴P(X-μ<-σ)=0.158 7,
∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 7=0.841 3.
∴540.841 3≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.
∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ),
∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)
=0.682 6+2P(X-μ≥σ)=1,
∴P(X-μ≥σ)=0.158 7.∴540.158 7≈9(人),
即130分以上的人數(shù)約為9人.
12.在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100),已知成績在90分以上的學(xué)生有13人.
(1)求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人?
(2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學(xué)生,問受獎學(xué)生的分數(shù)線是多少?
解 設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機變量X,X~N(60,100).
則μ=60,σ=10.
(1)P(30<X≤90)=P(60-310<X≤60+310)=0.997 4.
∴P(X>90)=[1-P(30<X≤90)]=0.001 3
∴學(xué)生總數(shù)為:=10 000(人).
(2)成績排在前228名的學(xué)生數(shù)占總數(shù)的0.022 8.
設(shè)分數(shù)線為x.
則P(X≥x0)=0.022 8.
∴P(120-x0<x<x0)=1-20.022 8=0.954 4.
又知P(60-210<x<60+210)=0.954 4.
∴x0=60+210=80(分).
13.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
一次購物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55 %.
(1)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨立,求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)
解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,將頻率視為概率得
P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X=3)==.
X的分布列為
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)=1+1.5+2+2.5+3=1.9.
(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”,Xi(i=1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間,則
P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).
由于各顧客的結(jié)算相互獨立,且X1,X2的分布列都與X的分布列相同,所以
P(A)=P(X1=1)P(X2=1)+P(X1=1)P(X2=1.5)+P(X1=1.5)P(X2=1)
=++=.
故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.
14.現(xiàn)有甲、乙兩個靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.
(1)求該射手恰好命中一次的概率;
(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
解 (1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.
由題意,知P(B)=,P(C)=P(D)=,
由于A=B +C+ D,
根據(jù)事件的獨立性和互斥性,得
P(A)=P(B +C+ D)
=P(B )+P(C)+P( D)
=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)
=++
=.
(2)根據(jù)題意,知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨立性和互斥性,得
P(X=0)=P( )
=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]
==;
P(X=1)=P(B )=P(B)P()P()
==;
P(X=2)=P( C+ D)=P( C)+P( D)
=+=;
P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)
=+=;
P(X=4)=P(CD)==,
P(X=5)=P(BCD)==.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
P
所以E(X)=0+1+2+3+4+5=.
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