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,,,,,,,,隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的來源和性質(zhì)不同，所以處理的方法也不同。由于隨機(jī)誤差是由一系列隨機(jī)因素引起的，因而隨機(jī)變量可以用來表達(dá)隨機(jī)誤差的取值范圍及概率。若有一非負(fù)函數(shù)，其對(duì)任意實(shí)數(shù)有分布函數(shù),,,,,稱,為,的概率分布密度函數(shù),,,為誤差在之間的概率，在測量系統(tǒng)中，若系統(tǒng)誤差已經(jīng)減小到可以忽略的程度后才可對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。,,,,,,隨機(jī)誤差的正態(tài)分布,由概率論的中心極限定理可知：大量的、微小的及獨(dú)立的隨機(jī)變量之總和服從正態(tài)分布。大多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，其應(yīng)用范圍包括各種物理、機(jī)械、電氣、化學(xué)等特性分布例如：鋁合金板抗拉強(qiáng)度，電容器電容變化、噪聲發(fā)聲器輸出電壓但在實(shí)際中，各種非正態(tài)分布也很多，故對(duì)隨機(jī)誤差一般將其按下述方法給予描述。,,,,,,,1.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律,,,實(shí)踐和理論證明，大量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。正態(tài)分布的曲線如圖所示。圖中的橫坐標(biāo)表示隨機(jī)誤差,，縱坐標(biāo)為誤差的概率密度,。應(yīng)用概率論方法可導(dǎo)出,隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線,,σ特征量,,σ標(biāo)準(zhǔn)差,n為測量次數(shù),值得注意的是，通常所說隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布是從統(tǒng)計(jì)角度而言的，也就是針對(duì)測量次數(shù)極大而測量分辨率又極高的情況而言。,,,,,,,,,,,,,,真實(shí)值與算術(shù)平均值,設(shè)對(duì)某一物理量進(jìn)行直接多次測量，測量值分別為下x1,x2,x3,x4…,xn,各次測量值的隨機(jī)誤差為。將隨機(jī)誤差相加,,,,,兩邊同除n得,,,用代表測量列的算術(shù)平均值,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特征，即,,,于是,,,可見，當(dāng)測量次數(shù)很多時(shí)，算術(shù)平均值趨于真實(shí)值，也就是說，算術(shù)平均值受隨機(jī)誤差影響比單次測量小。且測量次數(shù)越多，影響越小。因此可以用多次測量的算術(shù)平均值代替真實(shí)值，并稱為最可信數(shù)值。,,,,,,隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差,,,,,,,標(biāo)準(zhǔn)差σ定義為,,它是一定測量條件下隨機(jī)誤差最常用的估計(jì)值。在服從正態(tài)分布的情況下，隨機(jī)誤差落在(－σ，＋σ)區(qū)間的概率為68.3%。區(qū)間(－σ，＋σ)稱為置信區(qū)間，相應(yīng)的概率稱為置信概率。顯然，置信區(qū)間擴(kuò)大，則置信概率提高。置信區(qū)間取(－2σ，＋2σ)、(－3σ，＋3σ)時(shí)，相應(yīng)的置信概率P(2σ)=95.4%,P(3σ)=99.7.,,,,,,,,,,,,,,如圖是不同σ值時(shí)的曲線。σ值越小，曲線陡且峰值高，說明測量值的隨機(jī)誤差集中，小誤差占優(yōu)勢，各測量值的分散性小，重復(fù)性好。反之，σ值越大，曲線較平坦，各測量值的分散性大，重復(fù)性差。,,,,不同σ的概率密度曲線,,,,,,,,,,,,定義3σ為極限誤差，其概率含義是在1000次測量中只有3次測量的誤差絕對(duì)值會(huì)超過3σ。由于在一般測量中次數(shù)很少超過幾十次，因此，可以認(rèn)為測量誤差超＋－3σ出范圍的概率是很小的，故稱為極限誤差，一般可作為可疑值取舍的判定標(biāo)準(zhǔn)。,,,,,,,,,,代替誤差來估算有限次測量中的標(biāo)準(zhǔn)差，得到的結(jié)果就是單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差，用表示，它只是σ的一個(gè)估算值。由誤差理論可知單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算式為,,,,,,,,,,,,,,,這一公式稱為貝塞爾公式。,,,2)單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì),由于真值未知時(shí)，隨機(jī)誤差不可求，可用各次測量值與算術(shù)平均值之差——剩余誤差,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，常常采用去偏差并歸一化的前處理方法，即設(shè)標(biāo)準(zhǔn)單位利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行分析考察，如式下表給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些與的代表數(shù)值。,,,,,正態(tài)分布的概率密度和置信概率的數(shù)值表,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，常常采用去偏差并歸一化的前處理方法，即設(shè)標(biāo)準(zhǔn)單位利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行分析考察，如式下表給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些與的代表數(shù)值。,,,,,正態(tài)分布的概率密度和置信概率的數(shù)值表,在研究隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)，不僅要知道隨機(jī)變量在哪個(gè)范圍內(nèi)取值，而且要知道在該范圍內(nèi)取值的概率，兩者是相互關(guān)連的。置信區(qū)間：定義為隨機(jī)變量取值的范圍，常用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差的倍數(shù)來表示，即，其中為置信系數(shù)。置信概率：隨機(jī)變量在置信區(qū)間內(nèi)取值的概率，即置信水平：表示隨機(jī)變量在置信區(qū)間以外取值的概率，即,,,,,,,置信系數(shù)取不同典型值時(shí)，正態(tài)分布的置信概率數(shù)值如表2.1所示。由此可知，置信系數(shù)越大，置信區(qū)間越寬，置信概率越大，隨機(jī)誤差的范圍也越大，對(duì)測量精度的要求越低。在實(shí)際測量中，如有95%的置信概率時(shí)，其可靠性已經(jīng)足夠了，此時(shí)的置信區(qū)間是，置信水平為5%。（2）隨機(jī)誤差的非正態(tài)分布隨機(jī)誤差的概率分布有多種類型，除正態(tài)分布外，在計(jì)量和測量中經(jīng)常遇到的非正態(tài)分布有均勻分布、分布等。1）均勻分布均勻分布特點(diǎn)是：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)為：,,,式中——隨機(jī)誤差的極限值。均勻分布是一種常見的誤差分布，如圖2.4所示。例如，儀器刻度差引起的誤差，儀器最小分辨率限制引起的誤差，數(shù)字儀表的量化誤差（），數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差等等。此外，對(duì)一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知道其分布規(guī)律的誤差，在處理時(shí)常按均勻分布的誤差對(duì)待。,,,,,圖2.4均勻分布曲線,,,,,,,2）分布分布主要用來處理小樣本（即測量數(shù)據(jù)比較少）的測量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測量數(shù)據(jù)，而對(duì)小樣本的測量數(shù)據(jù)通常采用分布理論來處理。分布的概率密度函數(shù)為：式中——的估計(jì)值；——測得值的平均值；N——測量次數(shù)；——=N-1稱為自由度；——是伽馬函數(shù)。,,,,,,分布的概率密度曲線如下圖所示，它與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形相似，其特點(diǎn)在于分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無關(guān)，但與自由度N-1有關(guān)。當(dāng)N較大（大于30）時(shí)，分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當(dāng)時(shí)，兩者就完全相同。,,,,,,圖2.5分布曲線,分布曲線,根據(jù)分布置信系數(shù)列表，當(dāng)測量數(shù)據(jù)較少時(shí)，由給定的置信概率P和自由度，可查表得出分布置信系數(shù)，再根據(jù)小樣本數(shù)據(jù)的和值，可確定被測量真值的置信區(qū)間，即式中——小樣本數(shù)據(jù)均值的極限誤差或隨機(jī)不確定度。,,,,,,,,,（1）隨機(jī)誤差的表示方法由前面分析可知，在一定的置信概率P下，真值一定落在以測得值為中心，以誤差限為區(qū)間的一個(gè)范圍內(nèi)，即式中由于所取置信概率不同，以及表示誤差的習(xí)慣差異，誤差有各種表示方法，但以下面兩種情況最為常見。,,,,,,1)標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差所對(duì)應(yīng)的置信度P=68.3%，置信系數(shù)，即真值處于范圍內(nèi)的可信程度為68.3%。從正態(tài)分布曲線的幾何圖形上看，當(dāng)處正好是曲線的拐點(diǎn)，也即當(dāng)以后，概率密度變化比較慢，這就是選用標(biāo)準(zhǔn)差作為誤差限的理由之一。2)極限偏差當(dāng)置信系數(shù)時(shí)，置信度P=99.73%，故可以認(rèn)為真值落在范圍內(nèi)的概率已接近100%。因此，在工程測試中常以這個(gè)參數(shù)來表示測量精度，稱為極限誤差或最大誤差，用表示，即值得提醒的是，對(duì)于不同學(xué)科，不同測量對(duì)象和測量的目的而言，極限誤差所取的置信系數(shù)是不同的。例如，在某些與人身事故有直接關(guān)系的場合，；而在一般工程和貿(mào)易中，；在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，,,,,,,,,,,（2）真值的估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)偏差測量的主要任務(wù)是求得被測量的真值，前面介紹了真值是對(duì)同一檢測量在同樣條件下進(jìn)行無限多次測量所取得的測量平均值。由于實(shí)際測量中的測量次數(shù)是有限的，所以測量平均值并不等于真值。那么，如何估計(jì)測量平均值的正態(tài)分布情況。當(dāng)每個(gè)測量結(jié)果按正態(tài)分布時(shí)，一組測量數(shù)據(jù)的平均值為：其期望值恰好就是真值，即由于也屬于正態(tài)分布，因此可以用的標(biāo)準(zhǔn)偏差來表征測量結(jié)果的離散度。,,,,,,由其標(biāo)準(zhǔn)偏差為：此式表明，子樣平均值的方差并不等于母體方差，而只是它的N分之一。由這一結(jié)論可推論到等精度測量條件下，多批次測量（即分組多次測量）所獲得的平均值（也即分組平均值的平均值）要比單批次測量所獲得的結(jié)果精確，而且測量次數(shù)越多，越小，越向母體真值集中，即用作為的最佳估計(jì)值的離散度越小。然而，由于與成反比，隨著測量次數(shù)增加，值的減小逐漸不顯著了，故并非N越大越好。,,,,,,,,（3）標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)因?yàn)閿?shù)學(xué)平均值就是真值的無偏估計(jì)，即當(dāng)時(shí)，。為了求得標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)，需要先考慮殘差平方和S則S的期望值為：即,,,,,,,所以，方差的無偏估計(jì)為：無偏標(biāo)準(zhǔn)偏差為：將公式代入可得數(shù)據(jù)平均值的方差的無偏估計(jì)值，即平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)值為：應(yīng)當(dāng)注意的是，測量數(shù)據(jù)的方差為：它不是母體方差的無偏估計(jì)值。因?yàn)闊o偏方差的計(jì)算中沒有用真值，而用的是平均值，因此自由度減少了一個(gè)。,,,,,