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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第41講 排列與組合練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.以實(shí)際問題為背景考查排列、組合的應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論的思想.2.以選擇題或填空題的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查． 一、排列與排列數(shù) 1．排列 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列． 2．排列數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作A. 二、組合與組合數(shù) 1．組合 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合． 2．組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作C. 三、排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì) 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特別地C＝1. 性質(zhì) (1)0！＝1；(2)A＝n！. (2)①C＝C；②C＝C＋C. 解排列、組合應(yīng)用題的常見策略 (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略； (2)合理分類與準(zhǔn)確分步的策略； (3)排列、組合混合問題先選后排的策略； (4)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； (5)相鄰問題捆綁處理的策略； (6)不相鄰問題插空處理的策略； (7)定序問題除法處理的策略； (8)分排問題直排處理的策略． 1．從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．9個(gè) B．24個(gè) C．36個(gè) D．54個(gè) 【解析】　選出符合題意的三個(gè)數(shù)字有CC種方法，這三個(gè)數(shù)可組成CCA＝54個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)． 【答案】　D 2．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有(　　) A．6種 B．12種 C．30種 D．36種 【解析】　從反面考慮：甲、乙所選的課程，共有CC種不同的選法，其中甲、乙所選的課程都相同的選法有C種． 故甲、乙所選的課程至少有1門不同有CC－C＝30(種)． 【答案】　C 3．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有(　　) A．24種 B．60種 C．90種 D．120種 【解析】　可先排C、D、E三人，共A種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排法共A＝60(種)． 【答案】　B 4．某電視臺(tái)在直播xx年倫敦奧運(yùn)會(huì)時(shí)，連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不能連續(xù)播放則不同的播放方式有________種． 【解析】　3個(gè)商業(yè)廣告共有A種排法，奧運(yùn)廣告不連續(xù)播放，最后播放的必須是奧運(yùn)廣告有CA種排法． 故共有ACA＝36(種)． 【答案】　36 5．(xx大綱全國卷)從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)，2名二等獎(jiǎng)，3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有________種．(用數(shù)字作答) 【解析】　由題意知，所有可能的決賽結(jié)果有CCC＝61 ＝60(種)． 【答案】　60 6．(xx北京高考)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是________． 【解析】　先分組后用分配法求解，5張參觀券分為4組，其中2個(gè)連號(hào)的有4種分法，每一種分法中的排列方法有A種，因此共有不同的分法4A＝424＝96(種)． 【答案】　96 考向一 [175]　排列應(yīng)用題 　6個(gè)學(xué)生按下列要求站成一排，求各有多少種不同的站法？ (1)甲不站排頭，乙不能站排尾； (2)甲、乙都不站排頭和排尾； (3)甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰； (4)甲、乙都不與丙相鄰． 【思路點(diǎn)撥】　(1)按甲站的位置分類求解；(2)先排甲、乙的位置，再排其他學(xué)生；(3)不相鄰問題用插空法求解；(4)按丙站的位置分類求解． 【嘗試解答】　(1)分兩類：甲站排尾，有A種；甲站中間四個(gè)位置中的一個(gè)，且乙不站排尾，有AAA種．由分類計(jì)數(shù)原理，共有A＋AAA＝504(種)． (2)分兩步：首先將甲、乙站在中間四個(gè)位置中的兩個(gè)，有A種；再站其余4人，有A種． 由分步計(jì)數(shù)原理，共有AA＝288(種)． (3)分兩步：先站其余3人，有A種；再將甲、乙、丙3人插入前后四個(gè)空當(dāng)，有A種． 由分步計(jì)數(shù)原理，共有AA＝144(種)． (4)分三類：丙站首位，有AA種；丙站末位，有AA種；丙站中間四個(gè)位置中的一個(gè)，有AAA種． 由分類計(jì)數(shù)原理，共有2AA＋AAA＝288(種)． 規(guī)律方法1　1.對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法． 2．對(duì)相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，分別有多少個(gè)？(1)0不在個(gè)位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個(gè)數(shù)；(5)1不在個(gè)位；(6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列． 【解】　(1)AA＝480； (2)AAA＝192； (3)AA－AAA＝408； (4)AAA＋AA＝120； (5)A－2A＋A＝504； (6)A－A＝60. 考向二 [176]　組合應(yīng)用題 　男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員； (2)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員． 【思路點(diǎn)撥】　第(1)問可以用直接法或間接法求解．第(2)問根據(jù)有無女隊(duì)長分類求解． 【嘗試解答】　(1)法一　至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為 CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)． 法二　“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解． 從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種． 所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為C－C＝246(種)． (2)當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法． 不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有C種選法．其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，所以不選女隊(duì)長時(shí)共有C－C種選法，所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C＋C－C＝191(種)． 規(guī)律方法2　1.本題中第(1)小題，含“至少”條件，正面求解情況較多時(shí)，可考慮用間接法.第(2)小題恰當(dāng)分類是關(guān)鍵. 2.組合問題常有以下兩類題型變化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　xx年中俄聯(lián)合軍演在中國青島海域舉行，在某一項(xiàng)演練中，中方參加演習(xí)的有5艘軍艦，4架飛機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架飛機(jī)，若從中、俄兩方中各選出2個(gè)單位(1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個(gè)單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同)，且選出的四個(gè)單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有(　　) A．51種　　　B．224種　　　C．240種　　　D．336種 【解析】　由題意，可分類求解： 一類是一架飛機(jī)來自于中方CCC＝60 一類是一架飛機(jī)來自于外方CCC＝180， ∴CCC＋CCC＝60＋180＝240， 【答案】　C 考向三 [177]　排列組合的綜合應(yīng)用 　(1)某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個(gè)不同的車間，每個(gè)車間至少分配一名員工，且甲、乙兩名員工必須分到同一個(gè)車間，則不同分法的種數(shù)為________． (2)現(xiàn)需編制一個(gè)八位的序號(hào)，規(guī)定如下：序號(hào)由4個(gè)數(shù)字和2個(gè)x、1個(gè)y、1個(gè)z組成；2個(gè)x不能連續(xù)出現(xiàn)，且y在z的前面；數(shù)字在0、1、2、…、9之間任選，可重復(fù)，且四個(gè)數(shù)字之積為8，則符合條件的不同的序號(hào)種數(shù)有(　　) A．12 600　　　B．6 300　　　C．5 040　　　D．2 520 【思路點(diǎn)撥】　(1)分兩種情形求解：①甲、乙分到的車間不再分人；②甲、乙分到的車間再分一人． (2)首先積為8的只能是三個(gè)1和一個(gè)8或者是三個(gè)2和一個(gè)1或者一個(gè)4，一個(gè)2和兩個(gè)1，先把這四個(gè)數(shù)字排好，然后加上從8個(gè)位置選2個(gè)位置安排yz，最后插入兩個(gè)x，利用乘法原理即可得出答案． 【嘗試解答】　(1)若甲、乙分到的車間不再分人，則分法有CAC＝18種；若甲、乙分到的車間再分一人，則分法有3AC＝18種．所以滿足題意的分法共有18＋18＝36(種)． (2)首先積為8的只能是三個(gè)1和一個(gè)8或者是3個(gè)2和一個(gè)1或者一個(gè)4和一個(gè)2和兩個(gè)1，先把這四個(gè)數(shù)字排好，有C＋C＋A＝20(種)， 然后排yz，四個(gè)數(shù)加上yz共六個(gè)位置，yz占兩個(gè)，排法有C種， 最后在這六個(gè)數(shù)(或字母)形成的共7個(gè)空中插入x，有C種， 則符合條件的不同的序號(hào)種數(shù)有20CC＝6 300. 【答案】　(1)36　(2)B 規(guī)律方法3　1.解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置). 2.不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：(1)不均勻分組.(2)均勻分組.(3)部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．33　　　B．34　　　C．35　　　D．36 (2)從甲、乙等5名志愿者中選出4名，分別從事A，B，C，D四項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一項(xiàng)，若甲、乙二人均不能從事A工作，則不同的工作分配方案共有(　　) A．60種 B．72種 C．84種 D．96種 【解析】　(1)①若從集合B中取元素2時(shí)，再從C中任取一個(gè)元素，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為CA. ②當(dāng)從集合B中取元素1，且從C中取元素1，則確定的不同點(diǎn)有A1＝A. ③當(dāng)從B中取元素1，且從C中取出元素3或4，則確定的不同點(diǎn)有CA個(gè)． ∴由分類計(jì)數(shù)原理，共確定不同的點(diǎn)有CA＋A＋CA＝33個(gè)． (2)根據(jù)題意，分兩種情況討論： ①甲、乙中只有1人被選中，需要從甲、乙中選出1人，擔(dān)任后三項(xiàng)工作中的1種，由其他三人擔(dān)任剩余的三項(xiàng)工作，有CCA＝36種選派方案． ②甲、乙兩人都被選中，則在后三項(xiàng)工作中選出2項(xiàng)，由甲、乙擔(dān)任，從其他三人中選出2人，擔(dān)任剩余的兩項(xiàng)工作，有CACA＝36種選派方案， 綜上可得，共有36＋36＝72種不同的選派方案． 【答案】　(1)A　(2)B 思想方法之二十三　解排列組合問題的妙招——“排除法” 解決排列組合應(yīng)用問題時(shí)，一是要明確問題中是排列還是組合或排列組合混合問題；二是要講究一些基本策略和方法技巧． 對(duì)于“至少”“至多”型排列組合問題，若分類求解時(shí)，情況較多，則可從所有方法中減去不滿足條件的方法，即正難則反問題用排除法解決． ————[1個(gè)示范例]————[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]———— 　　　某學(xué)校星期一每班都排9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，若該校李老師在星期一這天要上3個(gè)班的課，每班1節(jié)，且不能連上3節(jié)課(第5和第6節(jié)不算連上)，那么李老師星期一這天課的排法共有(　　) A．474種　　B．77種　　C．462種　　D．79種 【解析】　首先求得不受限制時(shí)，從9節(jié)課中任意安排3節(jié)，有A＝504種排法，其中上午連排3節(jié)的有3A＝18種， 下午連排3節(jié)的有2A＝12種， 則這位教師一天的課表的所有排法有504－18－12＝474種． 學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學(xué)、英語、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有(　　) A．36種　　　B．30種　　　C．24種　　　D．6種 【解析】　由于每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，必須有兩科在同一節(jié)， 先從4個(gè)中任選2個(gè)看作整體，然后做3個(gè)元素的全排列，共CA種方法， 再從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，共A種方法， 故總的方法種數(shù)為：CA－A＝36－6＝30 【答案】　B