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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形階段測試卷 文 一、 選擇題(每小題5分，共60分) 1. (xx淄博期末)已知傾斜角為α的直線l與直線x－2y＋2＝0平行，則tan 2α的值為(B) A. B. C. D. 直線的斜率為，即直線l的斜率為k＝tan α＝， ∴tan 2α＝＝＝＝. 2. 半徑為a cm、中心角為60的扇形的弧長為(A) A. cm B. cm C. cm D. cm 60角轉(zhuǎn)化為弧度制為，則l＝a cm. 3. (xx廈門質(zhì)檢)已知tan＝，則tan α等于　　(C) A. － B. －1 C. － D. 由題tan α＝tan ＝ ＝＝－. 4. (xx安慶模擬)若函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的最大值等于(B) A. B. C. 2 D. 3 ∵函數(shù)在上遞增，∴要使函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有－≥－，即T≥，∴T＝≥，解得ω≤，∴ω的最大值等于. 5. (xx濰坊質(zhì)檢)已知α∈，α＋的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，3)，則sin α等于(A) A. B. C. D. 由α∈及三角函數(shù)的定義可知sin＝，cos＝－，∴sin α＝sin＝sincos －cossin ＝. 6. (xx濱州模擬)函數(shù)y＝(x∈(－π，0)∪(0，π))的圖像大致是　(A) 函數(shù)為偶函數(shù)，∴圖像關(guān)于y軸對稱，排除B，C.當(dāng) x→π時(shí)， y＝→0，故選A. 7. (xx煙臺期末)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖像如圖所示，為了得到g(x)＝sin 2x的圖像，則只需將f(x)的圖像(A) A. 向右平移個長度單位 B. 向右平移個長度單位 C. 向左平移個長度單位 D. 向左平移個長度單位 由圖像可知A＝1，＝－＝，即T＝π，又T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，由f＝sin＝－1，得sin＝－1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.∵g(x)＝sin 2x＝sin，∴只需將f(x)的圖像向右平移個長度單位，即可得到 g(x)＝sin 2x的圖像． 8 . (xx濰坊模擬)已知α，β∈，滿足tan(α＋β)＝4tan β，則tan α的最大值是　　　　(B) A. B. C. D. 由tan(α＋β)＝＝4tan β，得tan α＝，∵β∈，∴tan β＞0.∴tan α＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝4tan β，即tan β＝時(shí)，取等號，∴tan α的最大值是. 9. (xx臨沂質(zhì)檢)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，則△ABC是　(A) A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 銳角三角形 D. 等邊三角形 由2c2＝2a2＋2b2＋ab得，a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝＝－＜0，∴90＜C＜180，即三角形為鈍角三角形． 10. (xx濟(jì)南模擬 )已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期為4π，則(C) A. 函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 B. 函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對稱 C. 函數(shù)f(x)的圖像向右平移個單位后，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱 D. 函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)內(nèi)單調(diào)遞增 ∵函數(shù)的周期T＝，∴ω＝，∴f(x)＝sin.當(dāng)x＝時(shí)，f＝sin＝sin＝，∴A，B錯誤．將函數(shù)f(x)的圖像向右平移個單位后得到f(x)＝sin＝sinx，此時(shí)為奇函數(shù)，C正確．而函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，π)內(nèi)有增有減，故D錯誤． 11. (xx聊城模擬)函數(shù)y＝cos2的圖像沿x軸向右平移a個單位(a＞0)，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則a的最小值為(D) A. π B. C. D. y＝cos2＝＝＝－sin 2x，函數(shù)向右平移a個單位得到函數(shù)為y＝－sin 2(x－a)＝－sin(2x－2a)，要使函數(shù)的圖像關(guān)于 y軸對稱，則有 －2a＝＋kπ，k∈Z，即a＝－－，k∈Z，∵a＞0，∴當(dāng)k＝－1時(shí)，a取最小值為. 12. (xx泰安一輪復(fù)習(xí))當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，則函數(shù)y＝f是(C) A. 奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 B. 偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)(π，0)對稱 C. 奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線x＝對稱 D. 偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z, ∴f(x)＝Asin(A＞0)，∴y＝f＝Asin＝－Asin x，∴函數(shù)為奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線x＝對稱． 二、 填空題(每小題5分，共20分) 13. 若3cos＋cos(π＋θ)＝0，則 cos2θ＋sin 2θ的值是____． ∵3cos＋cos(π＋θ)＝0，即3sin θ－cos θ＝0，即 tan θ＝.∴cos2θ＋sin 2θ＝＝＝＝＝＝. 14. (xx溫州模擬)若＝3，tan(α－β)＝2，則 tan(β－2α)＝____． 由條件知＝＝3，∴tan α＝2. ∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝＝＝. 15. (xx青島期末)已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈，則f(x)的最小值為__1__． f(x)＝2sin2－cos 2x－1＝1－cos 2－cos 2x－1＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，∵≤x≤，∴≤2x－≤，∴sin ≤sin≤sin，即≤sin≤1，∴1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，∴f(x)的最小值為1. 16. (xx衡陽六校聯(lián)考)給出下列命題： ①存在實(shí)數(shù)x，使得sin x＋cos x＝；②若α，β為第一象限角，且α>β，則tan α>tan β；③函數(shù)y＝sin的最小正周期為5π；④函數(shù)y＝cos是奇函數(shù)；⑤函數(shù) y＝sin 2x的圖像向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖像． 其中正確命題的序號是__③④__(把你認(rèn)為正確的序號都填上)． 對于①，∵sin x＋cos x＝sin∈[－，]，而>，因此不存在實(shí)數(shù)x，使得sin x＋cos x＝，故①不正確；對于②，取α＝30＋360，β＝30，則tan α＝tan β，因此②不正確；對于③，函數(shù)y＝sin的最小正周期是T＝＝5π，因此③正確；對于④，令f(x)＝cos，則f(x)＝sin ，f(－x)＝－f(x)，因此④正確；對于⑤，函數(shù)y＝sin 2x的圖像向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖像，因此⑤不正確． 三、 解答題(共70分) 17. (10分)(xx衡水模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos B＝，b＝2. (1)當(dāng)A＝30時(shí)，求a的值； (2)當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求a＋c的值． (1)∵cos B＝，∴sin B＝. (2分) 由正弦定理＝，可得＝，∴a＝.(4分) (2)∵△ABC的面積S＝acsin B，sin B＝， ∴ac＝3，ac＝10.(6分) 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16, 即a2＋c2＝20. ∴(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. ∴a＋c＝2.(10分) 18. (10分)(xx山東高考)已知向量m＝(sin x，1)，n＝(A>0)，函數(shù)f(x)＝mn的最大值為6. (1)求A； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖像向左平移個單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖像．求g(x)在上的值域． (1)∵f(x)＝mn＝Asin xcos x＋cos 2x＝Asin 2x＋cos 2x＝Asin， 又f(x)的最大值為6，∴A＝6.(4分) (2)函數(shù)y＝f(x)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)y＝6sin，即y＝6sin的圖像，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)＝6sin的圖像．(7分) 當(dāng)x∈時(shí)，4x＋∈，sin∈，g(x)∈[－3，6]． 故函數(shù)g(x)在上的值域?yàn)閇－3，6]．(10分) 19. (12分)(xx濟(jì)南模擬 )已知m＝(2cos x＋2sin x，1)，n＝(cos x，－y)且m⊥n. (1)將y表示為x的函數(shù)f(x)，并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊長，若f＝3，且a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積． (1)由m⊥n得mn＝0，∴2cos2x＋2sin xcos x－y＝0，(2分) 即y＝2cos2x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin＋1，(4分) 當(dāng)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，(5分) ∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即增區(qū)間為(k∈Z)．(6分) (2)∵f＝3，∴2sin＋1＝3，sin＝1, ∵0＜A＜π，∴A＝.(9分) 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即4＝b2＋c2－bc，∴4＝(b＋c)2－3bc，∵b＋c＝4，∴bc＝4. ∴S△ABC＝bcsin A＝. (12分) 20. (12分)已知函數(shù)f(x)＝sincos＋sin2.其圖像的兩個相鄰對稱中心的距離為，且過點(diǎn). (1)函數(shù)f(x)的表達(dá)式； (2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a＝，S△ABC＝2，角C為銳角，且滿足f＝，求c的值． (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋[1－cos(ωx＋φ)] ＝sin＋.(2分) ∵兩個相鄰對稱中心的距離為，則T＝π， ∴＝π，∵ω＞0，∴ω＝2， 又f(x)過點(diǎn)， ∴sin＋＝1，即sin＝， ∴cos φ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f(x)＝sin＋.(6分) (2)f＝sin＋＝sin C＋＝， ∴sin C＝， ∵0＜C＜，∴cos C＝，(8分) 又a＝，S△ABC＝absin C＝b＝2，∴b＝6， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝21，∴c＝.(12分) 21. (12分)(xx泰安一輪復(fù)習(xí))已知m＝，n＝， f(x)＝mn，且 f＝. (1)求A的值； (2)設(shè)α，β∈， f(3α＋π)＝， f＝－，求cos(α＋β)的值． (1)由題意得f(x)＝mn＝＝Asin＋Acos＝2Asin.(2分) ∵f＝2Asin＝2Asin＝A， 又f＝，∴A＝1.(4分) (2)由(1)得f(x)＝2sin， 從而f(3α＋π)＝2sin＝2cos α＝， ∴cos α＝.(6分) 又f＝2sin＝－2sin β＝－， ∴sin β＝，(8分) 又α，β∈，∴sin α＝，cos β＝，(10分) 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝.(12分) 22. (14分)如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的圖像，且圖像的最高點(diǎn)為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動員的安全，限定∠MNP＝120. (1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離； (2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？ (1)依題意，有A＝2，＝3，又T＝，∴ω＝. ∴y＝2sinx.(3分) 當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2sin＝3，∴M(4，3)． 又P(8，0)，∴MP＝＝5.(5分) (2)如圖， 連接MP，在△MNP中，∠MNP＝120，MP＝5. 設(shè)∠PMN＝θ，則0＜θ＜60. 由正弦定理得＝＝， ∴NP＝sin θ，MN＝sin(60－θ)，(8分) ∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60－θ) ＝ ＝sin(θ＋60)．(12分) ∵0＜θ＜60，∴當(dāng)θ＝30時(shí)，折線段賽道MNP最長． 即將∠PMN設(shè)計(jì)為30時(shí)，折線段賽道MNP最長．(14分)