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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練二 第2講 函數(shù)的應用 理 考情解讀　1.函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實際應用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題． 1．函數(shù)的零點與方程的根 (1)函數(shù)的零點 對于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點． (2)函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系 函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點的橫坐標． (3)零點存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下兩點： ①滿足條件的零點可能不唯一； ②不滿足條件時，也可能有零點． (4)二分法求函數(shù)零點的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函數(shù)模型 解決函數(shù)模型的實際應用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域．其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數(shù)學問題；(2)數(shù)學建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學方法得出函數(shù)模型的數(shù)學結(jié)果；(4)實際問題作答：將數(shù)學問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答. 熱點一　函數(shù)的零點 例1　(1)已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f()>f(－)>0，則方程f(x)＝0的根的個數(shù)為________． (2)(xx遼寧)已知f(x)為偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝則不等式f(x－1)≤的解集為(　　) A．[，]∪[，] B．[－，－]∪[，] C．[，]∪[，] D．[－，－]∪[，] 思維啟迪　(1)根據(jù)零點存在性原理，進行判斷；(2)畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解決． 答案　(1)2　(2)A 解析　(1)由于函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(－)＝－f()>0， 故f()<0，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f()>0，由零點存在性定理知，存在c∈(，)，使得f(c)＝0，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)有唯一零點，由奇函數(shù)圖象的特點知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)也有一個零點，故方程f(x)＝0的根的個數(shù)為2. (2)先畫出y軸右邊的圖象，如圖所示． ∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對稱，∴可畫出y軸左邊的圖象，再畫直線y＝.設(shè)與曲線交于點A，B，C，D，先分別求出A，B兩點的橫坐標． 令cos πx＝，∵x∈[0，]， ∴πx＝，∴x＝. 令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝. 根據(jù)對稱性可知直線y＝與曲線另外兩個交點的橫坐標為xC＝－，xD＝－. ∵f(x－1)≤，則在直線y＝上及其下方的圖象滿足，∴≤x－1≤或－≤x－1≤－， ∴≤x≤或≤x≤. 思維升華　函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有①函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定；②零點個數(shù)的確定；③兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定．解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝()x－cos x，則f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點，若00 C．f(x0)<0 D．f(x0)的符號不確定 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)f(x)在[0,2π]上的零點個數(shù)就是函數(shù)y＝()x和y＝cos x的圖象在[0,2π]上的交點個數(shù)，而函數(shù)y＝()x和y＝cos x的圖象在[0,2π]上的交點有3個，故選C. (2)∵f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點，即f(a)＝0，∴當010時，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x. ∴W＝ (2)①當00； 當x∈(9,10)時，W′<0，∴當x＝9時，W取得最大值， 且Wmax＝8.19－93－10＝38.6. ②當x>10時， W＝98－≤98－2＝38， 當且僅當＝2.7x，即x＝時，W＝38， 故當x＝時，W取最大值38. 綜合①②知：當x＝9時，W取最大值38.6萬元，故當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大． 1．函數(shù)與方程 (1)函數(shù)f(x)有零點?方程f(x)＝0有根?函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點． (2)函數(shù)f(x)的零點存在性定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0. ①如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是一個單調(diào)函數(shù)，那么當f(a)f(b)<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0. ②如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)>0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)不一定沒有零點． 2．函數(shù)綜合題的求解往往應用多種知識和技能．因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件．要認真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決． 3．應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序 ??? 與函數(shù)有關(guān)的應用題，經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題．解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答. 真題感悟 1．(xx重慶)已知函數(shù)f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案　A 解析　作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中A(1,1)，B(0，－2)． 因為直線y＝mx＋m＝m(x＋1)恒過定點C(－1,0)，故當直線y＝m(x＋1)在AC位置時，m＝，可知當直線y＝m(x＋1)在x軸和AC之間運動時兩圖象有兩個不同的交點(直線y＝m(x＋1)可與AC重合但不能與x軸重合)，此時00， f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，要使f(x)有兩個零點，則極小值 f(－1)<0，即－e－1－a<0，∴a>－，又x→－∞時，f(x)>0，則a<0， ∴a∈(－，0)． 3．某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．則當每臺機器運轉(zhuǎn)________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元． 答案　5　8 解析　由題意知每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－2＝8，當且僅當x＝5時，年平均利潤最大，最大值為8萬元． (推薦時間：60分鐘) 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝log2x－的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1,2) D．(2,3) 答案　C 解析　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)． f()＝log2－＝－1－2＝－3<0， f(1)＝log21－＝0－1<0， f(2)＝log22－＝1－＝>0， f(3)＝log23－>1－＝>0， 即f(1)f(2)<0， ∴函數(shù)f(x)＝log2x－的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)． 2．函數(shù)f(x)＝＋ln，下列區(qū)間中，可能存在零點的是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(1,2)與(2,3) 答案　B 解析　f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，函數(shù)f(x)的定義域為(1，＋∞)，且為遞減函數(shù)， 當10，所以f(x)>0，故函數(shù)在(1,2)上沒有零點； f(2)＝－ln 1＝1>0，f(3)＝－ln 2＝＝， 因為＝2≈2.828，所以>e，故ln e0時，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－，所以要使函數(shù)f(x)＝m有三個不同的零點，則－0時，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點， 則當x≤0時， 函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點， 令f(x)＝0得a＝2x， 因為0<2x≤20＝1，所以01 解析　函數(shù)f(x)有三個零點等價于方程＝m|x|有且僅有三個實根． ∵＝m|x|?＝|x|(x＋2)，作函數(shù)y＝|x|(x＋2)的圖象，如圖所示，由圖象可知m應滿足：0<<1， 故m>1. 10．我們把形如y＝(a>0，b>0)的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故生動地稱為“囧函數(shù)”，若當a＝1，b＝1時的“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的交點個數(shù)為n，則n＝________. 答案　4 解析　由題意知，當a＝1，b＝1時，y＝＝ 在同一坐標系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的圖象如圖所示，易知它們有4個交點． 三、解答題 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)當a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的零點； (2)若對任意b∈R，函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－2x－3， 令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. ∴函數(shù)f(x)的零點為3和－1. (2)依題意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有兩個不同實根． ∴b2－4a(b－1)>0恒成立， 即對于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)2－4(4a)<0?a2－a<0，所以0，即1400， 即f(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)f(3)≤0即可． f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0， ∴a≤－或a≥1. 檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1，所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a≠1. (2)當f(3)＝0時，a＝－，此時f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0， 解得x＝－或x＝3. 方程在[－1,3]上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a≠－. 綜上所述，a<－或a>1.