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2019年高考數(shù)學大一輪復習 第八章 第2講 空間幾何體的表面積與體積訓練 理 一、選擇題 1．棱長為2的正四面體的表面積是(　　)． A. B．4 C．4 D．16 解析　每個面的面積為：22＝.∴正四面體的表面積為：4. 答案　C 2．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的 (　　)． A．2倍 B．2倍 C.倍 D.倍 解析　由題意知球的半徑擴大到原來的倍，則體積V＝πR3，知體積擴大到原來的2倍． 答案　B 3．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積(單位：cm2)為 (　　)． A．48 B．64 C．80 D．120 解析　據(jù)三視圖知，該幾何體是一個正四棱錐(底面邊長為8)，直觀圖如圖，PE為側(cè)面△PAB的邊AB上的高，且PE＝5.∴此幾何體的側(cè)面積是S＝4S△PAB＝485＝80(cm2)． 答案　C 4．已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為 (　　)． A. B. C. D. 解析　在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.過A點作SC的垂線交SC于D點，連接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因∠ASC＝30，故AD＝SA＝，則△ABD的面積為1 ＝，則三棱錐的體積為2＝. 答案　A 5．某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積為 (　　)． A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2 解析　該幾何體的上下為長方體，中間為圓柱． S表面積＝S下長方體＋S上長方體＋S圓柱側(cè)－2S圓柱底＝244＋442＋233＋431＋2π1－2π2＝94＋. 答案　C 6．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30，則棱錐S-ABC的體積為(　　)． A．3 B．2 C. D．1 解析　由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，設SD＝x，則DC＝4－x，此時所求棱錐即分割成兩個棱錐S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD＝BD＝x，又因為SC為直徑，所以∠SBC＝∠SAC＝90，所以∠DCB＝∠DCA＝60，在△BDC中 ，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD為正三角形，所以V＝S△ABD4＝. 答案　C 二、填空題 7．已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，則球O的表面積等于________． 解析　將三棱錐S－ABC補形成以SA、AB、BC為棱的長方體，其對角線SC為球O的直徑，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面積為4πR2＝4π. 答案　4π 8．如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 解析　由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V＝11＝. 答案　 9．已知某幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，三視圖的輪廓均為正方形，則該幾何體的表面積為________． 解析　借助常見的正方體模型解決．由三視圖知，該幾何體由正方體沿面AB1D1與面CB1D1截去兩個角所得，其表面由兩個等邊三角形、四個直角三角形和一個正方形組成．計算得其表面積為12＋4. 答案　12＋4 10．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為6，則以正方體ABCD－A1B1C1D1的中心為頂點，以平面AB1D1截正方體外接球所得的圓為底面的圓錐的全面積為________． 解析　設O為正方體外接球的球心，則O也是正方體的中心，O到平面AB1D1的距離是體對角線長的，即為.又球的半徑是正方體對角線長的一半，即為3，由勾股定理可知，截面圓的半徑為＝2，圓錐底面面積為S1＝π(2)2＝24π，圓錐的母線即為球的半徑3，圓錐的側(cè)面積為S2＝π23＝18π.因此圓錐的全面積為S＝S2＋S1＝18π＋24π＝(18＋24)π. 答案　(18＋24)π 三、解答題 11 .一個幾何體的三視圖如圖所示．已知主視圖是底邊長為1的平行四邊形，左視圖是一個長為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的表面積S. 解 (1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如 圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為， 所以V＝11＝. (2)由三視圖可知，該平行六面體中， A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形， S＝2(11＋1＋12)＝6＋2. 12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，如圖所示，求CP＋PA1的最小值． 解　PA1在平面A1BC1內(nèi)，PC在平面BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題解決．鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示．計算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90的直角三角形． CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得 A1C＝＝＝5， 故(CP＋PA1)min＝5. 13．某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標識墩的主視圖和俯視圖． (1)請畫出該安全標識墩的左視圖； (2)求該安全標識墩的體積． 解　(1)左視圖同主視圖，如圖所示： (2)該安全標識墩的體積為 V＝VPEFGH＋VABCDEFGH ＝40260＋40220 ＝64 000(cm3)． 14．如圖(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖(b)所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D－ABC的體積． (1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2， 故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2， ∴VB－ACD＝S△ACDBC＝22＝， 由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為.