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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第42講 二項式定理練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查利用通項求展開式中的特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等.2.考查賦值法與整體法的應用.3.多以選擇題、填空題的形式考查． 一、二項式定理 1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)． 2．第r＋1項，Tr＋1＝Can－rbr. 3．第r＋1項的二項式系數(shù)為C. 二、二項式系數(shù)的性質 1．0≤k≤n時，C與C的關系是C＝C. 2．二項式系數(shù)先增后減中間項最大且n為偶數(shù)時第＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cn；當n為奇數(shù)時，第項和項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cn或Cn. 3．各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．(1＋x)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是(　　) A．20x3　　　B．15x2　　　C．15x4　　　D．x6 【解析】　二項展開式中間一項(第4項)的二項式系數(shù)最大， ∴T4＝Cx3＝20x3. 【答案】　A 2.4的展開式中的常數(shù)項為(　　) A．－24 B．－6 C．6 D．24 【解析】　展開式的通項是Tr＋1＝C(2x)4－rr＝(－1)rC24－rx4－2r，令4－2r＝0，得r＝2， ∴展開式中的常數(shù)項為(－1)2C22＝24，故選D. 【答案】　D 3．已知(1＋kx2)6(k為正整數(shù))的展開式中x8的系數(shù)小于120，則k＝________. 【解析】　展開式的通項是Tr＋1＝C(kx2)r， 令2r＝8，得展開式中x8的系數(shù)為Ck4， ∴Ck4＜120，即k4＜8. 又k是正整數(shù)，故k＝1. 【答案】　1 4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝________. 【解析】　Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr. 由已知條件35C＝36C，即C＝3C. ＝3，整理得n＝7. 【答案】　7 5．(xx大綱全國卷)(x＋2)8的展開式中x6的系數(shù)是(　　) A．28 B．56 C．112 D．224 【解析】　該二項展開式的通項為Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令r＝2，得T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系數(shù)是112. 【答案】　C 6．(xx安徽高考)若8的展開式中，x4的系數(shù)為7，則實數(shù)a＝________. 【解析】　含x4的項為Cx53＝Ca3x4， ∴Ca3＝7， ∴a＝. 【答案】　 考向一 [178]　通項公式及其應用 　已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項． (1)求含x2的項的系數(shù)； (2)求展開式中所有的有理項． 【思路點撥】　(1)寫出通項Tr＋1，先求n，再求含x2的項的系數(shù)．(2)尋找使x的指數(shù)為整數(shù)的r值，從而確定有理項． 【嘗試解答】　(1)n的展開式的通項為 Tr＋1＝Cxrx－＝Crx. 因為第6項為常數(shù)項， 所以r＝5時，有＝0，即n＝10. 令＝2，得r＝(n－6)＝(10－6)＝2， ∴含x2的項的系數(shù)為C2＝. (2)根據(jù)通項公式，由題意∈Z，且0≤r≤10. 令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈N，∴k應為偶數(shù)． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8. 所以第3項，第6項和第9項為有理項，它們分別為 C2x2，C5，C8x－2. 規(guī)律方法1　1.解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項. 2.有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項.解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解. 對點訓練　(1)(xx浙江高考)設二項式5的展開式中常數(shù)項為A，則A＝________. (2)設二項式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B＝4A，則a的值是________． 【解析】　(1)Tr＋1＝C()5－rr＝C(－1)rx－，令－＝0，得r＝3，所以A＝－C＝－10. (2)6展開式的通項Tr＋1＝(－a)rCx6－r， ∴A＝(－a)2C，B＝(－a)4C， 由B＝4A，得(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a＝2. 又a＞0，所以a＝2. 【答案】　(1)－10　(2)2 考向二 [179]　二項展開式項的系數(shù)與二項式系數(shù) 　(1)設(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，則展開式中系數(shù)最大的項是(　　) A．15x2　　　B．20x3　　　C．21x3　　　D．35x3 (2)(xx課標全國卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【思路點撥】　(1)先賦值求a0及各項系數(shù)和，進而求得n值，再運用二項式系數(shù)性質與通項公式求解．(2)先求出(1＋x)5含有x與x2的項的系數(shù)，從而得到展開式中x2的系數(shù)． 【嘗試解答】　(1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令x＝0，得a0＝1. 令x＝1，則(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6， 又(1＋x)6的展開式二項式系數(shù)最大項的系數(shù)最大， ∴(1＋x)6的展開式系數(shù)最大項為T4＝Cx3＝20x3. (2)(1＋x)5中含有x與x2的項為T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，∴x2的系數(shù)為10＋5a＝5，∴a＝－1，故選D. 【答案】　(1)B　(2)D 規(guī)律方法2　求解這類問題要注意：1.區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)，靈活利用二項式系數(shù)的性質.2.根據(jù)題目特征，恰當賦特殊值代換.對于展開式中的系數(shù)和、隔項系數(shù)和、系數(shù)的絕對值和等問題，通常運用賦值法進行構造(構造出目標式).賦值時要注意根據(jù)目標式進行靈活的選擇，常見的賦值方法是使字母因式的值為1，－1或目標式的值. 對點訓練　(1)(xx浙江省高三調測)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a0＋a1＋a3＋a5等于(　　) A．122　　　B．123　　　C．243　　　D．244 (2)(xx大綱全國卷)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 【解析】　(1)在已知等式中分別取x＝0、x＝1與x＝－1， 得a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35， a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 因此有2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244， a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3＋a5＝123. (2)因為(1＋x)8的通項為Cxk，(1＋y)4的通項為Cyt，故(1＋x)8(1＋y)4的通項為CCxkyt.令k＝2，t＝2，得x2y2的系數(shù)為CC＝168. 【答案】　(1)B　(2)D 考向三 [180]　二項式定理的應用 　(xx湖北高考)設a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0　　　B．1　　　C．11　　　D．12 【思路點撥】　注意到52能被13整除，化51為52－1，從而運用二項式定理展開51xx，由條件求a的值． 【嘗試解答】　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a ＝C522 012－C522 011＋…＋C52(－1)2 011＋C(－1)2 012＋a， ∵C522 012－C522 011＋…＋C52(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a能被13整除， ∴C(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除． 因此a可取值12. 【答案】　D 規(guī)律方法3　1.本題求解的關鍵在于將512 012變形為(52－1)2 012，使得展開式中的每一項與除數(shù)13建立聯(lián)系． 2．用二項式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開．但要注意兩點：(1)余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，若利用二項式定理展開變形后，切記余數(shù)不能為負；(2)二項式定理的逆用． 對點訓練　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　) A．－1　　　B．1　　　C．－87　　　D．87 【解析】　1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C ＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10 ＝8810＋C889＋…＋C88＋1. ∵前10項均能被88整除，∴余數(shù)是1. 【答案】　B 思想方法之二十四　賦值法在二項展開式中的應用 求展開式系數(shù)和或相關量這類問題的解題思路：通常先利用通項公式弄清所求展開式系數(shù)的特點，再用賦值法求得各項系數(shù)和，一般通過變量指數(shù)來確定要求項或系數(shù)和，再根據(jù)其特點求相關的量，有時需要構造方程，通過解方程的方法來求解．分類分步是常用的手段，正面較復雜時可從反面考慮，即正難則反． ————[1個示范例]————[1個對點練]———— 　(xx宜春模擬)設(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n≥2，n∈N)，則a3＋a5＋a7＋…＋a2n－1＝(　　) A.　　　　 B. C. D. 【解析】　∵(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n≥2，n∈N)， ∴令x＝1,3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，① 再令x＝－1，可得1＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n，② ①－②得：a1＋a3＋…＋a2n－1＝， 又(1＋x＋x2)n＝[x2＋(1＋x)]n，其展開式中T1＝C(x2)0(1＋x)n，從中可求x的系數(shù)，它來自(1＋x)n展開式中x的系數(shù)，為a1＝C＝n， ∴a3＋a5＋a7＋…＋a2n－1＝. 在二項式n的展開式中，各項系數(shù)之和為M，各項二項式系數(shù)之和為N，且M＋N＝64，則展開式中含x2項的系數(shù)為(　　) A．－90　　　B．90　　　C．10　　　D．－10 【解析】　∵二項式n的展開式中， 令x＝1得：各項系數(shù)之和M＝2n， 又各項二項式系數(shù)之和為N，故N＝2n， 又M＋N＝64， ∴22n＝64， ∴n＝5. 設二項式5的展開式的通項為Tr＋1， 則Tr＋1＝C35－r(－1)rx－(5－r)＋r， 令－(5－r)＋r＝2得：r＝3， ∴展開式中含x2項的系數(shù)為C(－1)335－3＝－90. 【答案】　A