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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 綜合檢測 理 新人教A版 時間120分鐘　　滿分150分 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(xx北京西城抽樣測試)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i(i是虛數(shù)單位)，則z＝(　 　) A．－＋i　　　　　　B.－i C.＋i D．－－i 解析：∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝＝＝＋i.故選C. 答案：C 2．(xx廣東六校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝lg(＋a)是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)是(　　) A．(－∞，＋∞)上的減函數(shù) B．(－∞，＋∞)上的增函數(shù) C．(－1,1)上的減函數(shù) D．(－1,1)上的增函數(shù) 解析：由題意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg，函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1)，在此定義域內(nèi)f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函數(shù)y1＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)y2＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝y(tǒng)1－y2是增函數(shù)．選D. 答案：D 3．(xx山東青島質(zhì)檢)如圖所示的流程圖，若輸入的x＝－9.5，則輸出的結(jié)果為(　　) A．－2　　　　　　　　B．－1 C．0 D．1 解析：執(zhí)行程序過程如下：x＝－9.5＜0，x＝－9.5＋2＝－7.5＜0，x＝－7.5＋2＝－5.5＜0，x＝－5.5＋2＝－3.5＜0，x＝－3.5＋2＝－1.5＜0，x＝－1.5＋2＝0.5＞0，c＝20.5＝1，故輸出的結(jié)果為1，故選D. 答案：D 4．(xx天津十二區(qū)縣重點中學(xué)第一次聯(lián)考)箱中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．現(xiàn)有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得某人能夠獲獎的概率為＝(注：當(dāng)摸的兩個球中有標(biāo)號為4的球時，此時兩球的號碼之積是4的倍數(shù)，有5種情況；當(dāng)摸的兩個球中有標(biāo)號均不是4的球時，此時要使兩球的號碼之積是4的倍數(shù)，只有1種情況)，因此所求概率等于C()3(1－)＝，選B. 答案：B 5．(xx烏魯木齊地區(qū)高三第一次測驗)已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(－，)，則cosα的值為(　　) A.　　　 B．－ C．－　　　 D．－ 解析：依題意得cosα＝＝－，故選D. 答案：D 6．(xx安徽江南十校素質(zhì)測試)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是等腰直角三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) 解析：依題意可知，該三棱錐的側(cè)視圖可能是D. 答案：D 7．(xx長沙模考(一))已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點，且此雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則雙曲線的焦距為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：∵拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線x＝－1過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點，∴a＝1，∴雙曲線的漸近線方程為y＝x＝bx，∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，∴b＝2，∴c＝＝，∴雙曲線的焦距為2. 答案：B 8．(xx北京石景山期末)若(x＋)5的展開式中x3的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為(　　) A．1 B．2 C．－1 D. 解析：(x＋)5的展開式的通項為Tr＋1＝Cx5－r()r，令5－r－r＝3，則r＝1，因此Ca＝10，a＝2. 答案：B 9．(xx廣東佛山第二次質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A．3 B. C．4 D. 解析：依題意得，所求封閉圖形的面積等于22＋＝2＋＝4，選C. 答案：C 10．(xx廣東珠海摸底)已知a、b為非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時，|m|取得最小值，則向量a、b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夾角為θ，∴|m|＝|a＋tb|＝ ＝＝. 又∵當(dāng)且僅當(dāng)t＝時，|m|最小， 即＋＝0，∴cos θ＝－， ∴θ＝π.故選C. 答案：C 11．(xx北京朝陽期末)已知函數(shù)①y＝sinx＋cosx，②y＝2sinxcosx，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點(－，0)成中心對稱圖形 B．兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x＝－成軸對稱圖形 C．兩個函數(shù)在區(qū)間(－，)上都是單調(diào)遞增函數(shù) D．兩個函數(shù)的最小正周期相同 解析：由于y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，y＝2sinxcosx＝sin2x.對于A、B選項，當(dāng)x＝－時，y＝sin(x＋)＝0，y＝sin2x＝－，因此函數(shù)y＝sinx＋cosx的圖象關(guān)于點(－，0)成中心對稱圖形、不關(guān)于直線x＝－成軸對稱圖形，函數(shù)y＝2sinxcosx的圖象不關(guān)于點(－，0)成中心對稱圖形、關(guān)于直線x＝－成軸對稱圖形，故A、B選項均不正確；對于C選項，結(jié)合圖象可知，這兩個函數(shù)在區(qū)間(－，)上都是單調(diào)遞增函數(shù)，因此C正確；對于D選項，函數(shù)y＝sin(x＋)的最小正周期是2π，y＝sin2x的最小正周期是π，D不正確．綜上所述，選C. 答案：C 12．(xx潮州二模)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]時，f(x)＝x2，則關(guān)于x的方程f(x)＝()x在[0，]上根的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由題意知f(x)是周期為2的偶函數(shù)，故當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)＝x2，畫出f(x)的圖象，結(jié)合y＝()x的圖象可知，方程f(x)＝()x在x∈[0，]時有三個根，要注意在x∈(3，]時方程無解． 答案：C 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(xx無錫一模)已知x，y滿足，則的取值范圍是________． 解析：＝1＋2，設(shè)k＝，k表示定點P(4,1)與動點N(x，y)連線的斜率，點N在如圖所示的三角形ABC的邊界上或內(nèi)部，A(－3，－4)，C(3,2)，kCP＝－1≤k≤kAP＝，所以∈[1－2,1＋]＝[－1，]． 答案：[－1，] 14．(xx韶關(guān)調(diào)研)橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝________；∠F1PF2的大小為________． 解析：a＝3，b＝，c＝，由橢圓定義得|PF2|＝2a－|PF1|＝2；cos∠F1PF2＝＝－，∠F1PF2＝120. 答案：2　120 15．(xx寧波期末)如圖，直線l⊥平面α，垂足為O.已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝5，AB＝6，AD＝8.該長方體做符合以下條件的自由運動：(1)A∈l，(2)C∈α.則C1、O兩點間的最大距離為________． 解析：連接AC、OC，取AC的中點M，連接OM及C1M，由已知易證△AOC為直角三角形，∠AOC為直角，所以O(shè)M＝AC＝＝5，△ACC1也為直角三角形，∠ACC1為直角，所以易求得C1M＝5，連接OC1，設(shè)∠OMC1＝θ，則OC＝OM2＋C1M2－2OMC1Mcosθ＝25＋50－255cosθ＝75－50cosθ，當(dāng)cosθ＝－1即θ＝π時，OC取得最大值75＋50＝25(＋1)2，所以O(shè)C1的最大值為5(1＋)． 答案：5＋5 16．(xx漢中一模)在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足cos＝，＝3，則△ABC的面積為________． 解析：依題意得cosA＝2cos2－1＝，sinA＝＝，＝ABACcosA＝3，ABAC＝5，△ABC的面積等于ABACsinA＝2. 答案：2 三、解答題(本大題共6小題，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(xx湘潭二模)(本小題滿分12分) 已知正項等比數(shù)列{an}滿足：log3a1＋log3a3＝4，log3a5＋log3a7＝12. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記Tn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，如果數(shù)列{bn}滿足：bn＝；若存在n∈N*，使不等式m＜(b1＋b2＋…＋bn)()n成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)題意得：a1a3＝a＝34，所以a2＝32，同理a6＝36，a6＝a2q4，可得q＝3. 故an＝3n，n∈N*. (2)∵Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)， ∴bn＝＝－， ∴b1＋b2＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝. 設(shè)f(n)＝()n， 則f(n＋1)－f(n)＝－()n≤0， ∴f(1)＝f(2)＞f(3)＞f(4)＞…， ∴f(n)≤f(1)＝. 故m＜. 18．(xx德陽聯(lián)考)(本小題滿分12分) 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分別為PC、CD的中點． (1)證明：AB⊥平面BEF； (2)設(shè)PA＝kAB，若平面EBD與平面BDC所成的角大于45，求k的取值范圍． 解：(1)由已知得DF綊AB，且∠DAB為直角，故四邊形ABFD是矩形，從而AB⊥BF. 又PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD， 所以平面PAD⊥平面ABCD， 因為AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD， 在△PDC內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點， 所以EF∥PD，AB⊥EF. 由此得AB⊥平面BEF. (2)如圖，在A為原點，以AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB的長為1，則A(0,0,0)， B(1,0,0)，D(0,2,0)， F(1,2,0)，P(0,0，k)， E(1,1，)， ＝(－1,2,0)， ＝(0,1，)， 故平面CDB的法向量為n1＝(0,0,1)，平面EDB的法向量為n2＝(x，y，z)， 則， ∴，取y＝1，可得n2＝(2,1，－)． 設(shè)二面角E－BD－C的大小為θ， 則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＜， 化簡得k2＞，則k＞. 19．(xx濱州質(zhì)檢)(本小題滿分12分) 2011年3月，日本發(fā)生了9.0級地震，地震引發(fā)了海嘯及核泄漏．某國際組織用分層抽樣的方法從心理專家、核專家、地質(zhì)專家三類專家中抽取若干人組成研究團(tuán)隊赴日本工作，有關(guān)數(shù)據(jù)見表1(單位：人)． 核專家為了檢測當(dāng)?shù)貏游锸芎溯椛浜髮ι眢w健康的影響，隨機(jī)選取了110只羊進(jìn)行了檢測，并將有關(guān)數(shù)據(jù)整理為不完整的22列聯(lián)表(表2)． 表1 相關(guān)人員數(shù) 抽取人數(shù) 心理專家 24 x 核專家 48 y 地質(zhì)專家 72 6 表2 高度輻射 輕微輻射 合計 身體健康 30 A 50 身體不健康 B 10 60 合計 C D E 附：臨界值表 K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P(K2≥K0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 參考公式：K2＝ (1)求研究小組的總?cè)藬?shù)； (2)寫出表2中A、B、C、D、E的值，并判斷有多大的把握認(rèn)為羊受到高度輻射與身體不健康有關(guān)； (3)若從研究團(tuán)隊的心理專家和核專家中隨機(jī)選2人撰寫研究報告，求其中恰好有1人為心理專家的概率． 解：(1)依題意知＝＝， 解得y＝4，x＝2. 所以研究小組的總?cè)藬?shù)為2＋4＋6＝12. (2)根據(jù)列聯(lián)表特點得A＝20，B＝50，C＝80，D＝30，E＝110. 可求得K2＝≈7.486＞6.635. 由臨界值表知，有99%的把握認(rèn)為羊受到高度輻射與身體不健康有關(guān)． (3)設(shè)研究小組中心理專家為a1、a2，核專家為b1、b2、b3、b4，從中隨機(jī)選2人，不同的選取結(jié)果有：a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3、a2b4、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共15種． 其中恰好有1人為心理專家的結(jié)果有：a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3、a2b4，共8種， 所以恰好有1人為心理專家的概率P＝. 20．(xx綿陽診斷)(本小題滿分12分) 如圖，橢圓C：＋＝1的焦點在x軸上，左、右頂點分別為A1、A，上頂點為B.拋物線C1、C2分別以A、B為焦點，其頂點均為坐標(biāo)原點O，C1與C2相交于直線y＝x上一點P. (1)求橢圓C及拋物線C1、C2的方程； (2)若動直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點M、N，已知點Q(－，0)，求的最小值． 解：(1)由題意得，A(a,0)，B(0，)，故拋物線C1的方程可設(shè)為y2＝4ax，拋物線C2的方程為x2＝4y. 由得a＝4，P(8,8)． 所以橢圓C：＋＝1，拋物線C1：y2＝16x，拋物線C2：x2＝4y. (2)由(1)知，直線OP的斜率為，所以直線l的斜率為－，可設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b， 由消去y，整理得5x2－8bx＋(8b2－16)＝0. 因為動直線l與橢圓C交于不同兩點，所以Δ＝128b2－20(8b2－16)＞0， 解得－＜b＜. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝x1x2－(x1＋x2)＋b2＝. 因為＝(x1＋，y1)，＝(x2＋，y2)， 所以＝(x1＋，y1)(x2＋，y2)＝x1x2＋(x1＋x2)＋y1y2＋2＝. 因為－＜b＜，所以當(dāng)b＝－時，取得最小值，其最小值等于(－)2＋(－)－＝－. 21．(xx綏化一模)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝的圖象過點(－1,2)，且在x＝處取得極值． (1)求實數(shù)b、c的值； (2)求f(x)在[－1，e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值． 解：(1)當(dāng)x＜1時，f′(x)＝－3x2＋2x＋b， 由題意得，即， 解得b＝c＝0. (2)由(1)知f(x)＝， ①當(dāng)－1≤x＜1時，f′(x)＝－x(3x－2)， 由f′(x)＝－x(3x－2)＝0得：x＝0或x＝， 解f′(x)＞0得0＜x＜；解f′(x)＜0得－1≤x＜0或＜x＜1， ∴f(x)在[－1,0)和(，1)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增， ∵f(－1)＝2，f()＝，f(0)＝0，f(1)＝0， ∴f(x)在[－1,1)上的最大值為2. ②當(dāng)1≤x≤e時，f(x)＝alnx， 當(dāng)a≤0時，f(x)≤0；當(dāng)a＞0時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增； ∴f(x)在[1，e]上的最大值為a. ∴當(dāng)a≥2時，f(x)在[－1，e]上的最大值為a； 當(dāng)a＜2時，f(x)在[－1，e]上的最大值為2. 請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。 22．(xx蒙山一模)(本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講 如圖，在△ABC中，∠C為鈍角，點E，H分別是邊AB上的點，點K和M分別是邊AC和BC上的點，且AH＝AC，EB＝BC，AE＝AK，BH＝BM. (1)求證：E、H、M、K四點共圓； (2)若KE＝EH，CE＝3，求線段KM的長． 解：(1)連接CH， ∵AC＝AH，AK＝AE， ∴四邊形CHEK為等腰梯形， 注意到等腰梯形的對角互補， 故C，H，E，K四點共圓， 同理C，E，H，M四點共圓， 即E，H，M，K均在點C，E，H所確定的圓上． (2)連接EM， 由(1)得E，H，M，C，K五點共圓， ∵CEHM為等腰梯形，∴EM＝HC， 故∠MKE＝∠CEH， 由KE＝EH可得∠KME＝∠ECH， 故△MKE≌△CEH， 即KM＝EC＝3. 23．(xx南通調(diào)研) (本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，已知點P的直角坐標(biāo)為(1，－5)，點M的極坐標(biāo)為(4，)，若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑． (1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程； (2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系． 解：(1)由題意，直線l的普通方程是 y＋5＝(x－1)tan，此方程可化為＝， 令＝＝a(a為參數(shù))，得直線l的參數(shù)方程為(a為參數(shù))． 如圖，設(shè)圓上任意一點為Q(ρ，θ)， 則在△QOM中，由余弦定理，得 QM2＝QO2＋OM2－2QOOMcos∠QOM， ∴42＝ρ2＋42－24ρcos(θ－)． 化簡得ρ＝8sinθ，即為圓C的極坐標(biāo)方程． (2)由(1)可進(jìn)一步得出圓心M的直角坐標(biāo)是(0,4)，直線l的普通方程是x－y－5－＝0，圓心M到直線l的距離d＝＝＞4，所以直線l和圓C相離． 24．(xx菏澤聯(lián)考) (本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1)當(dāng)a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)； (2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)∵|x＋1|≥2|x|?x2＋2x＋1≥4x2?－≤x≤1， ∴不等式f(x)≥g(x)的解集為[－，1]． (2)若存在x∈R，使得|x＋1|≥2|x|＋a成立，即存在x∈R，使得|x＋1|－2|x|≥a成立． 令φ(x)＝|x＋1|－2|x|，則a≤φ(x)max， 又φ(x)＝ 當(dāng)x≥0時，φ(x)≤1；當(dāng)－1≤x＜0時，－2≤φ(x)＜1；當(dāng)x＜－1時，φ(x)＜－2.綜上可得：φ(x)≤1，∴a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，1]．