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2019-2020年七年級數(shù)學下冊第五章相交線與平行線學科素養(yǎng)思想方法含解析新版新人教版 一、轉化與化歸思想 【思想解讀】轉化思想是把一種待解決的問題經(jīng)過某種轉化，歸類到已經(jīng)解決的問題中去.轉化思想在解數(shù)學題時，所給條件往往不能直接應用，此時需要將所給條件進行轉化，在解題中經(jīng)常用到，它包括未知向已知的轉化，陌生向熟悉的轉化，復雜向簡單的轉化，抽象向具體的轉化；數(shù)與形的轉化等. 【應用鏈接】在證明線的位置關系或有關角度計算時，常利用平行線的性質(zhì)把沒有關聯(lián)的角轉化為對頂角或鄰補角之間的關系進行處理，反之把具有對頂角或鄰補角關系轉化為在同一個“三線八角”圖形結構中進行處理. 【典例1】(xx金華中考)如圖，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A=20，∠C= 120，則∠AED的度數(shù)是________. 【自主解答】如圖，延長AE交BC于點F，因為AB∥CD，∠C= 120，所以∠B=60，又因為BC∥DE，所以∠AED=∠AFC=∠B+∠A=60+20=80. 答案：80 【變式訓練】(xx同安區(qū)期中)如圖，已知∠1+∠2=180，∠B=∠3，你能判斷∠C與∠AED的大小關系嗎？并說明理由. 【解析】∠C與∠AED相等，理由為： ∵∠1+∠2=180(已知)， ∠1+∠DFE=180(鄰補角定義)， ∴∠2=∠DFE(同角的補角相等)， ∴AB∥EF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)， ∴∠3=∠ADE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)， 又∠B=∠3(已知)， ∴∠B=∠ADE(等量代換)， ∴DE∥BC(同位角相等，兩直線平行)， ∴∠C=∠AED(兩直線平行，同位角相等). 二、分類討論思想 【思想解讀】分類討論思想是一種常見的數(shù)學思想方法.具體來說，就是把包含多種可能情況的問題，按照某一標準分成若干類，然后對每一類分別進行解決. 【應用鏈接】在幾何問題中，涉及到圖形之間的位置關系不定時，需要應用分情況討論問題的方法. 【典例2】如圖，AD∥BC，當點P在射線OM上運動時(點P與點A，B，O三點不重合)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由.　 【自主解答】分三種情況進行討論： ①當點P在A，B兩點之間運動時，∠CPD=∠α+∠β. 理由如下：如圖(1)，過點P作PE∥AD交CD于點E. ∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β. ②當點P在BA延長線上時，∠CPD=∠β-∠α. 理由如下：如圖(2)，過點P作PE∥AD交CD于點E. 同①可知∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠β-∠α. ③當點P在AB延長線上時，∠CPD=∠α-∠β. 理由如下：如圖(3)，過點P作PE∥AD交CD于點E. 同②可知∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠α-∠β. 【變式訓練】如圖，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90，∠B=40，∠C=60，點D在邊OA上，將圖中的△COD繞點O按每秒10的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第________秒時，邊CD恰好與邊AB平行. 【解析】①兩三角形在點O的同側時，如圖1，設CD與OB相交于點E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO=∠B=40， ∵∠C=60，∠COD=90， ∴∠D=90-60=30， ∴∠DOE=∠CEO-∠D=40-30=10， ∴旋轉角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90+10=100. ∵每秒旋轉10， ∴時間為10010=10(秒). ②兩三角形在點O的異側時，如圖2，延長BO與CD相交于點E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO=∠B=40， ∵∠C=60，∠COD=90， ∴∠D=90-60=30， ∴∠DOE=∠CEO-∠D=40-30=10， ∴旋轉角為270+10=280， ∵每秒旋轉10， ∴時間為28010=28(秒)， 綜上所述，在第10或28秒時，邊CD恰好與邊AB平行. 答案：10或28 三、方程思想 【思想解讀】方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系通過適當設元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解的思維方式. 【應用鏈接】在應用垂直、角平分線或角度之間的比值進行角度的計算時，常用方程的思想，構建方程解決問題. 【典例3】(xx浦東新區(qū)期中)如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC，F(xiàn)O⊥CD于點O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度數(shù). 【自主解答】設∠BOD=2x，∠EOB=3x， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠EOB=3x， 則3x+3x+2x=180， 解得：x=22.5， ∴∠BOD=45， ∴∠AOC=∠BOD=45. ∵FO⊥CD， ∴∠AOF=90-∠AOC=90-45=45.