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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第二講 因式分解 因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能． 因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等． 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式) 由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到： 這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)． 運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式： (1) (2) 分析： (1)中，，(2)中． 解：(1) (2) 說明：(1) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用冪的運(yùn)算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，一定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號． 【例2】分解因式： (1) (2) 分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或． 解：(1) ． (2) 二、分組分解法 從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組． 1．分組后能提取公因式 【例3】把分解因式． 分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式． 解： 說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試． 【例4】把分解因式． 分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式． 解： 說明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律．由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用． 2．分組后能直接運(yùn)用公式 【例5】把分解因式． 分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其中一個(gè)因式是；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式后，另一個(gè)因式也是. 解： 【例6】把分解因式． 分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式． 解： 說明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來分解因式． 三、十字相乘法 1．型的因式分解 這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是： (1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和． 因此， 運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) ． (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號因數(shù)，它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同． 【例8】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號相同． 練： （3） （4） 【例9】把下列各式因式分解： (1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)． (2) 由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式． 解：(1) (2) 練：（1） （2） 2．一般二次三項(xiàng)式型的因式分解 大家知道，． 反過來，就得到： 我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行． 這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號． 練：（1） （2） （3） （4） 【例11】因式分解： (1) (2) 分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解徹底，有時(shí)可能會多次使用十字相乘法，并且對于項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式，應(yīng)合理使用分組分解法，找公因式，如五項(xiàng)可以三、二組合. 解：(1)原式. (2)原式. 練：（1） （2） 四、其它因式分解的方法 1．配方法 【例12】分解因式 解： 說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解．當(dāng)然，本題還有其它方法，請大家試驗(yàn)． 2．拆、添項(xiàng)法 【例13】分解因式 分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行．細(xì)查式中無一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決． 解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件．本題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和． 一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行： (1) 如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解； (4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止． 練 習(xí) A 組 1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 3．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 組 1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 2．已知，求代數(shù)式的值． 3．證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時(shí)，能被120整除． 4．已知，求證：． 第二講 因式分解答案 A組 1． 2． 3． 4． 5． ． B組 1． ． 2． 3． 4．