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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第6節(jié) 直接證明與間接證明課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理（含解析）新人教版 1．用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是(　　) A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù) C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù) D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)是偶數(shù) 解析：選B　至少有一個(gè)的否定是一個(gè)也沒有，即a，b，c都不是偶數(shù). 2．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，則△ABC一定是(　　) A．銳角三角形　　　　　　 B．直角三角形 C．鈍角三角形　　　　 D．不確定 解析：選C　由sin Asin C＜cos Acos C得， cos Acos C－sin Asin C＞0，即cos(A＋C)＞0， 所以A＋C是銳角，從而B＞，故△ABC必是鈍角三角形. 3．在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做恒和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是恒和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S21的值為(　　) A．42　　　　 B．52　　　　 C．53　　　　 D．63 解析：選B　由恒和數(shù)列的定義，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)．所以S21＝310＋211＝52. 4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a”索的因應(yīng)是(　　) A．a(chǎn)－b＞0　　　　 B．a(chǎn)－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0　　　　 D．(a－b)(a－c)＜0 解析：選C　＜a ?b2－ac＜3a2 ?(a＋c)2－ac＜3a2 ?a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0 ?－2a2＋ac＋c2＜0 ?2a2－ac－c2＞0 ?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0.故選C. 5．若a、b、c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b與a＜b及a＝b中至少有一個(gè)成立；③ a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．其中判斷正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析：選C　由已知得①②正確，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同時(shí)成立，如a＝1，b＝2，c＝3，所以③不正確．故選C. 6．“a＝”是“對(duì)任意正數(shù)x，均有x＋≥1”的(　　) A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件　　　　 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若a＝時(shí)，則x＋＝x＋≥2 ＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立；反之由x＋≥2≥1得a≥.故“a＝”是“對(duì)任意正數(shù)x，均有x＋≥1”的充分不必要條件．故選A. 7．(xx海口調(diào)研)設(shè)a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關(guān)系為________． 解析：a＜b　將a＝＋2，b＝2＋兩式的兩邊分別平方可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，由＜知a2＜b2，從而a＜b. 8．如果a＋b＞a＋b，則a，b應(yīng)滿足的條件是______． 解析：a≥0，b≥0且a≠b　a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需滿足a≥0，b≥0且a≠b. 9．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，則三邊a，b，c應(yīng)滿足________． 解析：b2＋c2＜a2　由余弦定理，得cos A＝＜0，所以b2＋c2－a2＜0，故b2＋c2＜a2. 10．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件： ①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1. 其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________．(填序號(hào)) 解析：③　對(duì)于①若a＝，b＝，則a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出； 對(duì)②若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出； 對(duì)④若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2＞2，故④推不出； 對(duì)⑤若a＝－2，b＝－3，則ab＞1，故⑤推不出； 對(duì)于③，即a＋b＞2，則a，b中至少有一個(gè)大于1， 用反證法，假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1. 11．已知m＞0，a，b∈R，求證：2≤. 證明：∵m＞0，∴1＋m＞0， ∴要證2≤， 即證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0， 又(a－b)2≥0顯然成立， ∴2≤. 12．(xx青島質(zhì)檢)已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足＝，函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． (1)求證：b＋c＝2a； (2)若f＝cos A，求證：△ABC為等邊三角形． 證明：(1)∵＝. ∴sin Bcos A＋sin Ccos A＝2sin A－cos Bsin A－cos Csin A， ∴sin Bcos A＋cos Bsin A＋sin Ccos A＋cos Csin A＝2sinA， ∴sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sin A， ∴sin C＋sin B＝2sin A，由正弦定理得b＋c＝2a. (2) 由題意知＝，解得ω＝， ∵f＝sin＝＝cos A，A∈(0，π)，∴A＝. 由余弦定理知cos A＝＝， ∴b2＋c2－a2＝bc，∵b＋c＝2a，∴b2＋c2－2＝bc， 整理得b2＋c2－2bc＝0，∴b＝c， ∴△ABC為等邊三角形. 1．不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項(xiàng)，y是b，c的等比中項(xiàng)，則x2，b2，y2三數(shù)(　　) A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列 B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列 C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列 解析：選B　由已知條件，可得 由②③得代入①，得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差數(shù)列．選B. 2．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．[1,4]　　　　 B．[2,3] C．[2,5]　　　　 D．[3，＋∞) 解析：選B　由題意知a≥2，所以二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5的圖象的對(duì)稱軸為x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2， ∴(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.故選B. 3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且對(duì)任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．給出以下三個(gè)結(jié)論： (1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　) A．3　　　　 B．2　　　　 C．1　　　　 D．0 解析：選A　(1)由f(1,1)＝1和f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2 得f(1,2)＝f (1,1＋1)＝f(1,1)＋2＝1＋2＝3， f(1,3)＝f(1,2)＋2＝5， f(1,4)＝f(1,3)＋2＝7， f(1,5)＝f(1,4)＋2＝9；故正確． (2)由f(1,1)＝1和f(m＋1,1)＝2f(m,1) 得f(2,1)＝f(1＋1,1)＝2f(1,1)＝2， f(3,1)＝2f(2,1)＝4， f(4,1)＝2f(3,1)＝8， f(5,1)＝2f(4,1)＝16，故正確． (3)由f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2得f(5,6)＝f(5,5)＋2， 而f(5,5)＝f(5,4)＋2，f(5,4)＝f(5,3)＋2， f(5,3)＝f(5,2)＋2，f(5,2)＝f(5,1)＋2＝16＋2＝18，則f(5,6)＝26.故正確． 因此(1)、(2)、(3)都正確，故選A. 4．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________． 解析：cn＋1＜cn　由條件得cn＝an－bn＝－n ＝， 所以cn隨n的增大而減?。? 所以cn＋1＜cn. 5．對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．試判斷g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù)，如果是，請(qǐng)予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由． 解：g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數(shù)，證明如下： 因?yàn)閤∈[0,1]，所以2x≥1,2x－1≥0， 即對(duì)任意x∈[0,1]，總有g(shù)(x)≥0，滿足條件①. g(1)＝21－1＝2－1＝1，滿足條件②. 當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1時(shí)， g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1， g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1， 于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)] ＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1) ＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)． 由于x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0,2x2－1≥0， 于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0， 因此g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，滿足條件③； 故函數(shù)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數(shù)．