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2019年高中數(shù)學 2.2.1 直接證明課后知能檢測 蘇教版選修2-2 一、填空題 1．命題“函數(shù)f(x)＝x－xln x在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)＝x－xln x求導得f′(x)＝－ln x，當x∈(0，1)時，f′(x)＝－ln x＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)”應用了________的證明方法． 【答案】　綜合法 2．欲證－＜－成立，只需證 ①(－)2＜(－)2；②(－)2＜(－)2； ③(＋)2＜(＋)2；④(－－)2＜(－)2. 則正確的序號是________． 【解析】　“－＜－”?“＋＜＋”且＋＞0，＋＞0，故只需證(＋)2＜(＋)2. 【答案】　③ 3．已知α，β為實數(shù)，給出下列三個論斷： ①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞2，|β|＞2，以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，寫出你認為正確的命題是________． 【解析】　由①αβ＞0知α，β同號， ∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞4＞5. 【答案】?、佗?② 圖2－2－2 4．如圖2－2－2，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件________時，有A1C⊥B1D1(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形)． 【解析】　只要使BD⊥平面AA1C1C即可． 【答案】　ABCD為正方形(ABCD為菱形或AC⊥BD等) 5．已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，則x，y的大小關系是x________y. 【解析】　要比較x，y的大小．∵x＞0，y＞0， 只需比較x2，y2的大小，即與a＋b的大小． ∵a，b為不相等的正數(shù)，∴2＜a＋b. ∴＜a＋b， 則x2＜y2.∴x＜y. 【答案】?。? 6．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，則xy的最大值為________． 【解析】　∵1＝＋≥2＝ . ∴xy≤3，當且僅當x＝，y＝2時等號成立． 【答案】　3 7．已知f(x)＝是奇函數(shù)，那么實數(shù)a的值等于________． 【解析】　法一　函數(shù)的定義域為R，函數(shù)為奇函數(shù)，當x＝0時f(0)＝0，即＝0. ∴a＝1. 法二　由奇函數(shù)的定義f(－x)＝－f(x)恒成立． 即＝－， 即＝－恒成立． 即2a＋a2x＋1＝2x＋1＋2，∴a＝1. 【答案】　1 8．已知△ABC的兩頂點A、B是雙曲線－＝1的左右兩個焦點，頂點C在雙曲線的右支上，則＝________． 【解析】　∵A、B是雙曲線－＝1的左右兩個焦點，C在雙曲線的右支上， ∴|AB|＝2＝10，|CA|－|CB|＝6， 由正弦定理，得＝＝－. 【答案】?。? 二、解答題 9．已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求證：△ABC為正三角形． 【證明】　∵2cos 2B－8cos B＋5＝0， ∴4cos2B－8cos B＋3＝0， ∴cos B＝或cos B＝(舍去)， ∴B＝60. ∵a，b，c等差，∴2b＝a＋c， ∴cos B＝＝＝， ∴a＝c. 又∵B＝60， ∴△ABC為正三角形． 10．已知a＞0，－＞1，求證：＞. 【證明】　由－＞1，及a＞0知b＞0. 要證明＞， 只需證明＞1， 即證1＋a－b－ab＞1， 只要證明a－b＞ab， 即證＞1，也就是－＞1， ∵－＞1成立(已知)， 故原不等式＞成立． 圖2－2－3 11．如圖2－2－3所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． (1)證明：CD⊥AE； (2)證明：PD⊥平面ABE. 【證明】　(1)在四棱錐P—ABCD中， 因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 故PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE?平面PAC.所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA， ∵E是PC的中點， ∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD， 且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD， ∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD， ∴PD在底面ABCD內的射影是AD，∵AB⊥AD， ∴AB⊥PD， 又∵AB∩AE＝A， 故PD⊥平面ABE.