2019-2020年高考數(shù)學5年真題備考題庫 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 理（含解析）.doc
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2019-2020年高考數(shù)學5年真題備考題庫 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 理（含解析） 1．（xx遼寧，5分）設等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則( ) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 解析：∵數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右邊為關于n的一次函數(shù)，∴a1d<0. 答案：C 2．（xx福建，5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于( ) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，則S3＝3a1＋3d，所以12＝32＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋52＝12，故選C. 答案：C 3．（xx新課標全國卷Ⅰ，12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． 解：(1)證明：由題設，anan＋1＝λSn－1， an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 4．（xx安徽，5分）設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．2 解析：本題主要考查等差數(shù)列的基礎知識和基本運算，意在考查考生的運算求解能力． 根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 答案：A 5．（xx新課標全國Ⅰ，12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． 解：本題主要考查等差數(shù)列的基本知識，特殊數(shù)列求和等． (1)設{an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知可得解得a1＝1，d＝－1. 故{an}的通項公式為an＝2－n. (2)由(1)知＝＝，從而數(shù)列的前n項和為＝. 6．（xx新課標全國Ⅱ，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 解：本題主要考查等比數(shù)列的性質、等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的求和，意在考查考生的運算求解能力． (1)設{an}的公差為d.由題意，a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 7．（xx山東，12分）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn. 解：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、錯位相減法等知識，考查方程思想、轉化思想和運算能力、推理論證能力． (1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得 解得a1＝1，d＝2. 因此an＝2n－1，n∈N*. (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當n＝1時，＝； 當n≥2時，＝1－－＝， 所以＝，n∈N*. 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*. 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－ ＝－－， 所以Tn＝3－. 8．（xx新課標全國Ⅰ，5分）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式，意在考查考生通過等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式求解基本量的能力．根據(jù)已知條件，得到am和am＋1，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d，最后建立關于a1和m的方程組求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差數(shù)列的公差為d＝am＋1－am＝3－2＝1， 由 得解得選擇C. 答案：C 9．（xx新課標全國Ⅱ，5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn ，已知S10＝0，S15＝25，則nSn 的最小值為________． 解析：本題考查等差數(shù)列的前n項和公式以及通過轉化利用函數(shù)的單調性判斷數(shù)列的單調性等知識，對學生分析、轉化、計算等能力要求較高． 由已知解得a1＝－3， d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函數(shù)f(x)＝－在x＝處取得極小值，因而檢驗n＝6時，6S6＝－48，而n＝7時，7S7＝－49. ∴nSn 的最小值為－49. 答案：－49 10．（xx福建，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍． 解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想． (1)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列， 所以a＝1(a1＋2)， 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， 所以5a1＋10>a＋8a1， 即a＋3a1－10<0，解得－5
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